Czworokąt wpisany w okrąg

[sharif]

Treść zadania:
W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg długości łuków odpowiadających cięciw AB, BC i CD są równe. Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem

[mat_61]

Wskazówka:

1) Jaki jest warunek możliwości wpisania czworokąta w okrąg?
2) Jakie są kąty przy wierzchołkach B i C tego czworokąta?
3) Jakie są kąty przy wierzchołkach A i D? (na podstawie 1) i 2))

[sharif]

Powiedz mi czy dobrze myślę... skoro łuki są tej samej długości, to kąty na których są oparte też są takie same? I wtedy wszystkie kąty wychodzą te same, abcd jest kwadratem, chyba, że źle myślę to sprostuj ktoś.

[mat_61]

Powiedz mi czy dobrze myślę... skoro łuki są tej samej długości, to kąty na których są oparte też są takie same?

Dokładnie to powinno być tak:
Skoro łuki są tej samej długości, to kąty środkowe na których są oparte też są takie same.

Reszta nie jest prawdą, bo skoro kąty środkowe ASB, BSC, CSD (S - środek okręgu) są równe to równe są także kąty przy wierzchołkach B i C tego czworokąta (zrób sobie rysunek, zaznacz wszystkie dane i zastanów się dlaczego tak jest).

Teraz w oparciu o wskazówkę 1) zastanów się jakie są kąty przy wierzchołkach A i D.

[sharif]

Trójkąty ASB, BSC, CSD są równoramienne, bo ramieniem jest promień okręgu opisanego, więc przy C i B kąty są równe powiedzmy \(\displaystyle{ \beta}\), a przy A i D są równe 180-\(\displaystyle{ \beta}\). Czy z tego można już powiedzieć, że to jest trapez?(chyba, że znowu źle coś pomyślałem.)

[mat_61]

Teraz jest OK, bo z tego co napisałeś wynika, że AD||BC, czyli ABCD jest trapezem (i to równoramiennym).

Jakby ktoś miał wątpliwości, to wystarczy zaznaczyć, że jeżeli kąty odpowiadające lub naprzemianległe są sobie równe (a tu są równe \(\displaystyle{ \beta}\) lub \(\displaystyle{ 180- \beta}\)) to odpowiednie proste są równoległe (zobacz tutaj np. kąty 1 i 5 lub 1 i 7 )

[sharif]

Dzięki za pomoc, zadanie nie było takie trudne, wszystko mi się rozjaśniło:D