Pola figur podobnych

[dymek010]

Podstawa AB trójkąta ABC ma długość 24cm. Na boku AC zaznaczono punkty \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}}\), a na boku BC punkty \(\displaystyle{ B_{1}, B_{2}}\), w taki sposób, że \(\displaystyle{ A_{1}B_{1} || AB i A_{2}B_{2}}\). Wiedząc że \(\displaystyle{ |A_{1}B_{1}|}\) = 8cm, \(\displaystyle{ |A_{2}B_{2}|}\) = 20cm. Oblicz stosunek pól figur \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C, A_{2}B_{2}B_{1}A_{1} i ABB_{2}A_{2}}\).


POMOCY!!!
Z góry dzięki

[mat_61]

Skorzystaj z tego, że:

- podobne są trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ A_{2}B_{2}C}\) oraz \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C}\)
- jeżeli dwie figury są podobne w skali k, to stosunek długości odpowiadających sobie boków wynosi k a stosunek pól powierzchni tych figur wynosi \(\displaystyle{ k^{2}}\)
- pola powierzchni podanych czworokątów, to różnica pól odpowiednich trójkątów

[dymek010]

hmm..
Nadal nie wiem jak to rozwiązać. Mógłbyś napisać jak do tego dojść że ten stosunek ma wyjść 4:21:11?

[mat_61]

A co próbowałeś już zrobić? Czego ewentualnie nie rozumiesz?

Oznacz sobie pole powierzchni trójkąta \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C}\) przez x.
Wówczas pole trójkąta \(\displaystyle{ A_{2}B_{2}C}\) wynosi ...? (jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów?, jaki jest stosunek ich pól powierzchni?)

Podobnie rozważ trójkąty \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C}\) oraz \(\displaystyle{ ABC}\)

[dymek010]

No cóż kompletnie nie wiem jak sie do tego zabrać, kilkakrotnie próbowałem to rozwiązać ale nie wychodziło mi tak jak powinno

[mat_61]

No to napisz to co zrobiłeś, to wtedy będzie można poprawić i ewentualnie napisać dodatkowe wskazówki.
Jaka jest Twoja odpowiedź na pomocnicze pytania z poprzednich wskazówek:

Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów?, jaki jest stosunek ich pól powierzchni? - chodzi oczywiście o trójkąty \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C}\) oraz \(\displaystyle{ A_{2}B_{2}C}\)

[dymek010]

Kompletnie nie wiem jakie działanie utworzyć obliczając stosunek trójkąta do innej figury, bo z samymi trójkątami jeszcze sobie jakoś radzę ;p

Pomoże ktoś?

[mat_61]

Czy Ty w ogóle czytasz to co Ci napisałem?

Czy potrafisz odpowiedzieć na pytanie:

Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? (\(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C}\) i \(\displaystyle{ A_{2}B_{2}C}\))

[dymek010]

4 : 25

Sorki za niedopatrzenie

[mat_61]

A mógłbyś napisać skąd masz taki wynik?

Masz w zadaniu podane długości boków w tych trójkątach (proponuję, żebyś zrobił sobie rysunek):

\(\displaystyle{ |A_{1}B_{1}|=8 \ \ |A_{2}B_{2}|=20}\)

Natomiast w jednej z wcześniejszych wskazówek napisałem Ci, że:

Jeżeli dwie figury są podobne w skali k, to stosunek długości odpowiadających sobie boków wynosi k

Oczywiście mogę się domyślać, że chodziło Ci o stosunek pól powierzchni tych trójkątów ale jeżeli tak, to należało to napisać, bo przecież pytanie było inne. Teraz w podobny sposób wyznacz stosunek pól powierzchni trójkątów \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C}\) oraz \(\displaystyle{ ABC}\)

[dymek010]

Oczywiście chodziło mi o stosunek pól powierzchni trojkątów \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C i A_{2}B_{2}C}\)

\(\displaystyle{ (\frac{8}{20})^{2} = 4:25}\)

[mat_61]

OK.
Teraz oblicz stosunek pól powierzchni trójkątów \(\displaystyle{ A_{1}B_{1}C}\) i \(\displaystyle{ ABC}\) i także zapisz go jako 4:....

Możesz więc zapisać pola powierzchni tych trójkątów (poczynając od najmniejszego) jako 4x; 25x; ....

Następnie oblicz pola czworokątów jako:

\(\displaystyle{ P_{A_{2}B_{2}B_{1}A_{1}}=P_{A_{2}B_{2}C} - P_{A_{1}B_{1}C}}\)

\(\displaystyle{ P_{ABB_{2}A_{2}}=...}\)

Na koniec oblicz stosunek pól powierzchni odpowiednich figur.