trójkąt równoboczny

[Trruskawka92]

W trójkąt równoboczny wpisano koło i kwadrat. Czy większe pole ma kwadrat czy koło? odpowiedź uzasadnij

[JakimPL]

Promień koła wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{3} h = \frac{a\sqrt{3}}{6}}\). Pole zatem wynosi \(\displaystyle{ P_{\Delta} = \pi r^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 \pi=\frac{\pi a^2}{12}}\).

Przyjmijmy, że bok kwadratu wpisanego w trójkąt ma bok \(\displaystyle{ b}\):



Z twierdzenia Talesa:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b}{b} =\frac{\frac{1}{2}a}{h}, \quad h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b}{b} =\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b} =\frac{b}{\sqrt{3}}\\ a\sqrt{3} - b\sqrt{3} = 2b \\ a\sqrt{3} = b(2+ \sqrt{3}) \\ a\frac{\sqrt{3}}{2+ \sqrt{3}} = b}\)

Teraz podnieść \(\displaystyle{ b}\) do kwadratu i porównać, co jest większe.