Trapez, odcinek łączący środki podstaw

[qwass]

W trapezie ABCD podstawy maja dlugosci: AB=a oraz CD=b, gdzie a>b>0 oraz Suma katow
BAD+ABC=90 (stopni).
Środek M podstawy AB połączono ze środkiem N podstawy DC.
Wykaż, że
\(\displaystyle{ MN=\frac{a-b}{2}}\)

[timon92]

Niech proste \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Wówczas \(\displaystyle{ \angle AEB = 90^\circ}\). Zauważmy, że punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są środkami okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ DCE}\), dalej łatwe.