Trójkąty podobne i ich pola

[conseil]

Jaka jest odległość punktu O od krótszej podstawy, jeśli wysokość trapezu wynosi 6cm, a długości podstaw mają odpowiednio 4cm i 8cm? Oblicz pola trójkątów ABO i DCO.

Te dwa trójkąty są podobne. Najpierw chciałbym obliczyć tą odległość między O a krótszą podstawą. Liczę stosunki 'k':
\(\displaystyle{ k _{1} = \frac{8}{4} = 2

k _{2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}}\)
Tak więc wysokość to:
\(\displaystyle{ 2x + \frac{1}{2}x = 6}\)
\(\displaystyle{ \frac{5}{2}x = 6}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{12}{5}}\)
Czyli wysokość tego małego trójkąta DCO to:
\(\displaystyle{ k _{2} \cdot x = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{5} = \frac{12}{10} = 1,2}\)
No i liczę długość odcinka |OC|(rysuję w tym małym trójkącie wysokość, liczę z pitagorasa):
\(\displaystyle{ (1,2) ^{2} + 2^{2} = (|OC|)^{2}}\)
No tylko, że tak się nie da(źle). Jak to "ugryźć"?

[piasek101]

Skala dużego do małego trójkąta to 2.

Zatem ich wysokości to (x) i (2x) - szukana (x) :

\(\displaystyle{ 2x + x = 6}\)

[mat_61]

Te dwa trójkąty są podobne. Najpierw chciałbym obliczyć tą odległość między O a krótszą podstawą. Liczę stosunki 'k':
\(\displaystyle{ k _{1} = \frac{8}{4} = 2

k _{2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}}\)

Nie ma potrzeba liczenia skal podobieństwa w "obydwie strony"
Musisz obliczyć jedną skalę podobieństwa tych trójkątów (albo "dużego" do "małego" albo odwrotnie). Jak już obliczyłeś to skala podobieństwa trójkąta AOB do trójkąta COD wynosi k=2. Oznacza to, że stosunek długości odpowiadających sobie odcinków w tych trójkątach (boków, wysokości, środkowych itd.) także wynosi k. Czyli także stosunek wysokości poprowadzonych z wierzchołka O wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=2 \Rightarrow h_{1}=...}\)

Oczywiście suma tych długości wynosi 6, czyli możemy zapisać:

\(\displaystyle{ h_{1}+h_{2}=....+h_{2}=6 \Rightarrow h_{2}=...}\)

Uzupełnij te obliczenia i wyznacz \(\displaystyle{ h_{2}}\). Oczywiście ta wysokość jest jednocześnie odległością punktu O od podstawy DC.

Dalej chyba sobie poradzisz?