Pole czworokąta - dowodzenie

[EpureLight]

Witam was!

Mam problem z zadaniem na dowodzenie z czworokątem. Próbowałem już wszelkich metod i nie moge dojść jak je rozwiązać. Licze, że mi pomożecie

1.Oblicz pole czworokąta wypukłego mając dane jego boki a,b,c,d oraz kąt \(\displaystyle{ \phi}\) zawarty między przekątnymi tego czworokąta.

Z góry dziękuję.

[matshadow]

Nierówność Ptolemeusza
\(\displaystyle{ a\cdot c+b\cdot d\ge e\cdot f}\)
gdzie e,f to przekątne
Jeśli czworokąt da się wpisać w okrąg, to wtedy mamy równość \(\displaystyle{ a\cdot c+b\cdot d=e\cdot f}\), a wtedy
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ef\sin\phi=\frac{1}{2}(ac+bd)\sin\phi}\)
Zatem ogólnie mamy
\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}ef\sin\phi\le \frac{1}{2}(ac+bd)\sin\phi}\)

[ziolkowska]

Ale to musimy zrobić z twierdzenia sinusów, tudzież cosinusów.


P. S. Cześć, Kamil;)

[kafell]

Nie narzekaj przynajmniej coś jest Siemka ;D tu Krzysiek

Po za tym resztę z poprzedniego zadania możesz wziąść chyba... xD

[anna_]

\(\displaystyle{ e=x+z}\) - przekątna
\(\displaystyle{ f=y+t}\) - przekątna
\(\displaystyle{ P= \frac{ef sin\phi}{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{(x+z)(y+t)sin\phi}{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{(xy + tx + yz + tz)sin\phi}{2}}\)

\(\displaystyle{ a^2=x^2+y^2-2xycos\phi \Rightarrow xy= \frac{x^2+y^2-a^2}{2cos\phi}\\
b^2=y^2+z^2+2yzcos\phi \Rightarrow yz= \frac{b^2-y^2-z^2}{2cos\phi} \\
c^2=z^2+t^2-2ztcos\phi \Rightarrow zt= \frac{z^2+t^2-c^2}{2cos\phi} \\
d^2=x^2+t^2+2xtcos\phi \Rightarrow xt= \frac{d^2-x^2-t^2}{2cos\phi}}\)

\(\displaystyle{ xy+yz+zt+xt=\frac{x^2+y^2-a^2}{2cos\phi}+ \frac{b^2-y^2-z^2}{2cos\phi}+\frac{z^2+t^2-c^2}{2cos\phi}+\frac{d^2-x^2-t^2}{2cos\phi}= \frac{- a^2 + b^2 - c^2 + d^2}{2cos\phi}}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{\frac{- a^2 + b^2 - c^2 + d^2}{2cos\phi}sin\phi}{2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{- a^2 + b^2 - c^2 + d^2}{4}tg\phi}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{ b^2+ d^2-(a^2+c^2)}{4}tg\phi}\)

Musi być założenie \(\displaystyle{ b^2+d^2>a^2+c^2}\)