Okrąg opisany na czworokącie

[Ghostek]

Witam! Jak można rozwiązać takie zadanie?

Na prostokącie o bokach długości a i b opisano okrąg. Wykaż, że suma kwadratów odległości dowolnego punktu na tym okręgu od prostych zawierających boki prostokąta wynosi a kwadrat + b kwadrat.

[anna_]

AU

2b43266dac983af8m.png (15.14 KiB) Przejrzano 92 razy

[/url]

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC mamy:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=(2r)^2}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2=4r^2}\)

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta IOP mamy:
\(\displaystyle{ |IO|^2+|IP|^2=|PO|^2}\)
\(\displaystyle{ (\frac{a}{2}-a+y)^2+(x+\frac{b}{2})^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ 4x^2 + 4bx + 4y^2 - 4ay + a^2 + b^2 = 4r^2}\)
\(\displaystyle{ 4x^2 + 4bx + 4y^2 - 4ay + a^2 + b^2=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ 4x^2 + 4bx + 4y^2 - 4ay=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+bx+y^2-ay=0}\)

Szukana odległość to:
\(\displaystyle{ |PE|^2+|PF|^2+|PG|^2+|PH|^2=x^2+(b+x)^2+y^2+(a-y)^2=}\)
\(\displaystyle{ 2x^2 + 2bx + 2y^2 - 2ay + a^2 + b^2=2(x^2 + bx + y^2 - ay) + a^2 + b^2=a^2+b^2}\)

[Ghostek]

Bardzo dziękuję