na jakiej podstawie można stwierdzić że dane punkty leżą na okręgu Apoloniusza innych punktów? i w ogóle do czego on się przydaje jakie ma własności? prosiłabym bardzo o jasne wytłumaczenie bo Wikipedia jest bardzo ograniczona a w innych miejscach również nie znalazłam jasnego wyjaśnienia,
z góry dziękuję:)
głównie próbuję zrozumieć jak zostało rozwiązane to zadanie
196711.htm
okrąg Apoloniusza
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
okrąg Apoloniusza
Miejscem geometrycznym punktów, których stosunek odległości od dwóch ustalonych punktów jest stały i różny od 1, jest tzw. okrąg Apoloniusza.
Rozważmy jakieś punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na płaszczyźnie i ustalmy liczbę \(\displaystyle{ \lambda > 0}\), przy czym \(\displaystyle{ \lambda \ne1}\). Będziemy szukać takich punktów \(\displaystyle{ C}\), że \(\displaystyle{ \frac{AC}{CB} = \lambda}\).
Zauważmy, że na prostej \(\displaystyle{ AB}\) istnieją dokładnie dwa takie punkty \(\displaystyle{ K, L}\) spełniające równość \(\displaystyle{ \frac{AK}{KB} = \lambda = \frac{AL}{LB}}\) (jeden leży na odcinku \(\displaystyle{ AB}\), drugi poza nim).
Weźmy teraz dowolny punkt \(\displaystyle{ C}\) taki, że \(\displaystyle{ \frac{AC}{CB} = \lambda}\). Poprowadźmy dwusieczne kąta wewnętrznego i kąta zewnętrznego kąta \(\displaystyle{ \angle C}\). Oznaczmy je przez \(\displaystyle{ D,E}\). Na mocy twierdzenia o dwusiecznej mamy \(\displaystyle{ \lambda = \frac{AC}{CB} = \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EB}}\). Zatem \(\displaystyle{ {D, E} = {K,L}}\). Ponadto \(\displaystyle{ \angle DCE = 90^\circ}\), więc wszystkie punkty \(\displaystyle{ C}\) spełniające równość \(\displaystyle{ \frac{AC}{CB} = \lambda}\) leżą na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ DE}\).
Rozważmy jakieś punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na płaszczyźnie i ustalmy liczbę \(\displaystyle{ \lambda > 0}\), przy czym \(\displaystyle{ \lambda \ne1}\). Będziemy szukać takich punktów \(\displaystyle{ C}\), że \(\displaystyle{ \frac{AC}{CB} = \lambda}\).
Zauważmy, że na prostej \(\displaystyle{ AB}\) istnieją dokładnie dwa takie punkty \(\displaystyle{ K, L}\) spełniające równość \(\displaystyle{ \frac{AK}{KB} = \lambda = \frac{AL}{LB}}\) (jeden leży na odcinku \(\displaystyle{ AB}\), drugi poza nim).
Weźmy teraz dowolny punkt \(\displaystyle{ C}\) taki, że \(\displaystyle{ \frac{AC}{CB} = \lambda}\). Poprowadźmy dwusieczne kąta wewnętrznego i kąta zewnętrznego kąta \(\displaystyle{ \angle C}\). Oznaczmy je przez \(\displaystyle{ D,E}\). Na mocy twierdzenia o dwusiecznej mamy \(\displaystyle{ \lambda = \frac{AC}{CB} = \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EB}}\). Zatem \(\displaystyle{ {D, E} = {K,L}}\). Ponadto \(\displaystyle{ \angle DCE = 90^\circ}\), więc wszystkie punkty \(\displaystyle{ C}\) spełniające równość \(\displaystyle{ \frac{AC}{CB} = \lambda}\) leżą na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ DE}\).