Dwa Trudne Zadania

[Ghostek]

Witam! Mam problem z rozwiązaniem dwóch zadań. Ich treść brzmi:

1.Znajdź środek i promień okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A(-4,-2), B(0,-4) i C(8,4).

2.Na trójkącie prostokątnym opisany jest okrąg o promieniu 5. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego wynosi 4. Oblicz obwód trójkąta.

Bardzo proszę o pomoc. Będę bardzo wdzięczny

[sushi]

2. zrob rysunek, przeciwprostokatna===2 promienie

[Ghostek]

Oki. I co dalej?

[sushi]

potem Pitagoras dla bokow 4,5, przyprostokatnej
nastepnie duzy Pitagoras dla (2r=10, przyprotakatnej, co wyliczyles przed chwila, dla drugej przyprostokatnej)

[Majeskas]

1. I sposób:

Szukamy równania okręgu:

\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)

o(S=(a,b), r)

Punkt S jest punktem równo odległym od wszystkich wierzchołków trójkąta i ta odległość wynosi r.
Możemy na tej podstawie zapisać następujący układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} |AS|=r \\ |BS|=r \\ |CS|=r \end{cases}}\)

Gdy teraz wstawisz pod wzory na długości odcinków współrzędne wierzchołków trójkąta oraz a i b, otrzymasz układ 3 równań z 3 niewiadomymi (a, b, r).


II sposób:

Środek okręgu opisanego S jest punktem przecięcia symetralnych wszystkich boków trójkąta. Zatem możemy znaleźć wzory prostych zawierających dwa dowolne boki, następnie znaleźć wzory symetralnych tych boków (proste prostopadłe, przechodzące przez środki odcinków). Punkt S będzie punktem przecięcia się tych prostych. r=|AS|=|BS|=|CS|, czyli mając S automatycznie znajdziemy całe równanie okręgu.-- 20 maja 2010, 12:44 --

potem Pitagoras dla bokow 4,5, przyprostokatnej


To się, moim zdaniem, nie zgadza. Przecież spodek wysokości trójkąta na przeciwprostokątną nie jest w tym samym punkcie co środek okręgu opisanego na tym trójkącie. Odcinek łączący spodek wysokości z wierzchołkiem kąta prostego to h=4, zaś odcinek łączący środek okręgu opisanego na trójkącie z wierzchołkiem kąta prostego to r=5, co jednoznacznie wskazuje, że te punkty się nie pokrywają i nie idzie użyć zaproponowanego twierdzenia Pitagorasa.

Ja bym skorzystał z czego innego. Potrzebujemy znaleźć długości przyprostokątnych: x, y.

S=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}xy= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4}\)

Poza tym, oczywiście:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=100}\)

Mamy więc układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=40 \\ x^2+y^2=100\end{cases}}\)

Jesteśmy w stanie z niego wyliczyć co trzeba.

[sushi]

To się, moim zdaniem, nie zgadza. Przecież spodek wysokości trójkąta na przeciwprostokątną nie jest w tym samym punkcie co środek okręgu opisanego na tym trójkącie.

oczywiscie, pomyliłem sie

[Ghostek]

Bardzo dziękuję. Teraz rozumiem