okręgi wpisane i opisane na czworokącie - zadania

[gerla]

1) Oblicz długość boku kwadratu, wiedząc że iloczyn długości promienia okręgu wpisanego w ten kwadrat i promienia okręgu opisanego na tym kwadracie wynosi \(\displaystyle{ 25 \sqrt{2}}\)

2) W prostokącie mniejszy bok ma długość 3, a kąt ostry między przekątnymi ma miarę \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\). Jaka jest długość promienia okręgu opisanego na tym prostokącie?.

3) Na trapezie o podstawach długości 16 i 8 oraz wysokości 8 opisano okrąg; jego środek leży wewnątrz trapezu. Oblicz odległości środka okręgu od wszystkich boków tego trapezu.

4) Boki równoległoboku mają długość 6 i 10, a kąt ostry ma miarę \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\). Z jednego wierzchołka kąta rozwartego poprowadzono dwie wysokości. Oblicz obwód czworokąta wyznaczonego przez środki tych wysokości i przez wierzchołki kątów rozwartych. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na powstałym czworokącie.

5) W romb wpisano okrąg. Punkt styczności okręgu z bokiem dzieli bok na odcinki długości 4 i 9. Oblicz długość przekątnych i wysokość rombu.

6) W romb o boku długości 10 i wysokości 8 wpisano okrąg \(\displaystyle{ o _{2}}\)
a) Oblicz w jakiej odległości od środka boku znajduje się punkt styczności okręgu z tym bokiem
b) Wykaż, że przez środki boków tego rombu można poprowadzić okrąg \(\displaystyle{ o _{2}}\) i wyznacz długość promienia tego okręgu

[agulka1987]

1.
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{2}d = \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}a}\)

\(\displaystyle{ r \cdot R = 25 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a \cdot \frac{a \sqrt{2} }{2} =25 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sqrt{2} }{4} =25 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ a^2 = 25 \sqrt{2} \cdot \frac{4}{ \sqrt{2} } =100}\)

\(\displaystyle{ a=10}\)

[gerla]

ok. a mógłby ktoś pozostałe wytłumaczyć ?.

[marchelik]

zad 2.
z tw. sinusów \(\displaystyle{ \frac{3}{sin 60}=2R}\)

i po przekształceniach otrzymujemy \(\displaystyle{ R= \sqrt{3}}\)