Gwiazga Pitagorejska

[trzebiec]

Mam problem z pewnym zadaniem.

a) Oblicz pole foremnej pięcioramiennej gwiazdy, jeśli bok pięciokąta foremnego jest równy 1.
b) Oblicz promień okręgu, w który wpisana jest ta gwiazda.

Znam miary kątów, znam zasadę podziału odcinków, jednak nie potrafię wyjść z tego. Będę wdzięczny za każdą, najmniejszą pomoc.

[pelas_91]

AU

180px-Pentagram2.png (11.35 KiB) Przejrzano 152 razy

Zdjęcie pochodzi z wikipedii:
Zasada podziału odcinków: \(\displaystyle{ \frac{czerwony}{zielony}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)
Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ czerwony = 2 \cdot zielony + 1}\)
Spróbuj oddzielnie policzyć pole pieciokąta foremnego i małego trójkącika.


Co do podpunktu B) - dorysuj sobie odcinek łączący dwa szpice gwiazdy. Otrzymasz trójkąt równoramienny. Oblicz pole okręgu opisanego na nim.

[anna_]

Zakładam, że pięciokąt o którym mowa, to pięciokąt 'zewnętrzny' czyli ten który powstanie na podanym rysunku po połaczeniu ramiom gwiazdy.

Wtedy ten trójkąt, którego podstawą jest bok pięciokąta, a ramionami są ramiona gwiazdy jest trójkątem równoramiennym o kącie przy podstawie równym \(\displaystyle{ 36^o}\).
Wysokośc tego trojkąta policzysz z \(\displaystyle{ tg36^o= \frac{h}{0,5a}}\)
\(\displaystyle{ \tan{36^\circ} = \sqrt{5 - 2 \sqrt{5} }}\)

Pole gwiazdy to pole pięciokąta zewnętrznego minus \(\displaystyle{ 5 \cdot P_{trojkata}}\)

PS. Gotowiec, wzór na pole
\(\displaystyle{ S=\frac{a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}}{4}}\)
a - długość ramienia gwiazdy
\(\displaystyle{ R=\frac{2a}{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}}\)

A tu konstrukcja: