matura rozszerz. zad 3.

[bosy1992]

Bok kwadratu ABCD ma długość 1.Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE| = 2|Df|.Oblicz wartość x=|DF|, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

[mathX]

Niech bok kwadratu wynosi \(\displaystyle{ a}\).
\(\displaystyle{ \left| DF \right|=x}\)
\(\displaystyle{ \left| CE \right|=2x}\)

Wyznaczmy wzór na pole trójkąta odejmując poszczególne części od pola kwadratu:
\(\displaystyle{ P_{AEF}=P_{ABCD}-(P_{ABE}+P_{CEF}+P_{ADF})=a^{2}- \left( \frac{1}{2}a(a-2x)+\frac{1}{2} \cdot 2x(a-x)+\frac{1}{2}ax \right)=a^{2}- \left( \frac{1}{2}(a^{2}-2ax)+(ax-x^{2})+\frac{1}{2}ax \right)=a^{2}- \left( \frac{1}{2}(a^{2}-2ax)+(ax-x^{2})+\frac{1}{2}ax \right)=x^{2}- \frac{1}{2}ax+ \frac{1}{2}a^{2}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ P(x)=x^{2}- \frac{1}{2}ax+ \frac{1}{2}a^{2}}\)

Oczywiście można zrobić to na 2 sposoby.
Pierwszy z nich opiera się na tym, że jest to funkcja kwadratowa i szukamy jej wierzchołka, gdzie znajduje się ekstremum.
Drugi sposób szukania ekstremów to policzenie pochodnej po x i przyrównanie do zera. Ponieważ współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest większy od zera, więc będzie to minimum, czyli najmniejsza wartość pola.

Pozdrawiam.