okrąg o środku o

gaabryysiaa1992 · Post autor: **gaabryysiaa1992** » 12 maja 2010, o 15:35

W okręgu o środku w punkcie O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD. Z punktu A poprowadzono cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie N. Wyznacz kąt, jaki tworzy ta cięciwa ze średnicą AB, jeżeli w czworokąt OBMN można wpisać okrąg.

Może mi ktoś powiedzieć na jakiej podstawie trójkąt BON jest przystający do BMN.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 12 maja 2010, o 16:30

Musisz przysłać mi rysunek, bo obawiam się,że punkty A M N są współliniowe...

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 12 maja 2010, o 16:54

gaabryysiaa1992 pisze:(...) na jakiej podstawie trójkąt BON jest przystający do BMN

Ponieważ \(\displaystyle{ AB\perp CD}\), to \(\displaystyle{ OB\perp ON}\) i wobec tego trójkąt \(\displaystyle{ BON}\) jest prostokątny. Ponadto \(\displaystyle{ \angle BMN}\) jest kątem prostym jako kąt wpisany w okrąg oparty na jego średnicy (\(\displaystyle{ AB}\)), więc trójkąt \(\displaystyle{ BMN}\) jest także prostokątny.
Oczywiście trójkąty te mają wspólną przeciwprostokątną (\(\displaystyle{ BN}\)).
Ponieważ w czworokąt \(\displaystyle{ OBMN}\) można wpisać okrąg, to z twierdzenia o stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu na zewnątrz okręgu wynika, że \(\displaystyle{ |ON|=|MN|}\) oraz \(\displaystyle{ |OB|=|BM|}\).
Zatem trójkąty \(\displaystyle{ BON, BMN}\) są przystające na mocy cechy bkb przystawania trójkątów.