Trapezy ABCD. tw Talesa lub coś lepszego.

[wanilka91]

Witam proszę o pomoc, wskazówkę w rozwiązaniu tych zadań. Próbuję i dochodzę praktycznie do punktu wyjścia.
1. Przekątne trapezu ABCd, gdzie AB||CD przecinają się w punkcie K. Prowadzimy prostą równloegłą do podstaw i przechodząca przez pkt K, przecina ona boki AD i BC odpowiednio w punktach M i N. Udowodnij że K jest środkiem odcinka MN.
2. Udowodnij że długość odcinka wyciętego przez boki trapezu z prostej równoległej do podstaw i przechodzącej przez pkt przecięcia przekątnych zależy tylko od długości podstaw tego trapezu.

[tometomek91]

1.
Niech \(\displaystyle{ |AB|=a\ i\ |DC|=b}\) oraz wysokość trapezu MNDC równa \(\displaystyle{ h_{1}}\), a trapezu ABNM - \(\displaystyle{ h_{2}}\). Z twierdzenia Talesa wynika, że: \(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{a}{b}}\) a stąd \(\displaystyle{ h_{1}=\frac{bh_{2}}{a}\ (*)}\). Z równości pól trapezów mamy:
\(\displaystyle{ P_{ABMN}+P_{MNDC}=P_{ABDC}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{(a+|MN|)h_{2}}{2}+\frac{(b+|MN|)h_{1}}{2}=\frac{(a+b)(h_{1}+h_{2})}{2}\\
(a+|MN|)h_{2}+(b+|MN|)h_{1}=(a+b)(h_{1}+h_{2})}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ (*)}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (a+|MN|)h_{2}+(b+|MN|)\frac{bh_{2}}{a}=(a+b)(\frac{b}{a}+1)h_{2}\\
a+|MN|+(b+|MN|)\frac{b}{a}=(a+b)(\frac{b}{a}+1) \Rightarrow |MN|=\frac{2ab}{a+b}}\)
Korzystając ponownie z Twierdzenia Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{|MD|}{|AD|}=\frac{h_{1}}{h_{1}+h_{2}}=\frac{\frac{bh_{2}}{a}}{\frac{bh_{2}}{a}+h_{2}}=\frac{b}{a+b} \Rightarrow |MD|=\frac{|AD| \cdot b}{a+b}}\)
I znów z Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{|MD|}{|MK|}=\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AD|}{a}\\
|MK|=\frac{|MD| \cdot a}{|AD|}\\
|MK|=\frac{|AD|ab}{|AD|(a+b)}=\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2ab}{a+b}=\frac{1}{2} \cdot |MN|}\).