Złożenie symetrii, kąty skierowane

[patry93]

Witam.

Niech będą dane trzy współpękowe proste \(\displaystyle{ p, \ q, \ r}\).
1) Jak wyznaczyć punkt stały złożenia \(\displaystyle{ S_p \circ S_q \circ S_r}\), gdzie \(\displaystyle{ S_a}\) to symetria osiowa względem prostej \(\displaystyle{ a}\)?
2) Dowieść, że jeśli prosta \(\displaystyle{ m}\) jest taka, że \(\displaystyle{ S_p \circ S_q \circ S_r = S_m}\), to kąt skierowany pary prostych \(\displaystyle{ (m,p)}\) jest równy kątowi skierowanemu pary \(\displaystyle{ (r,q)}\).

Co do 1) - czy będzie to środek odcinka \(\displaystyle{ MM'}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\) jest dowolnym punktem nie leżącym na danych prostych, a \(\displaystyle{ M'}\) to jego obraz w złożeniu \(\displaystyle{ S_p \circ S_q \circ S_r}\)? Większość znaków mi na to wskazuje, lecz mam problem z dowodem.

[timon92]

1. Punktem tym jest punkt wspólny prostych \(\displaystyle{ p,q,r}\)
2. Podpowiedź: złożenie dwóch symetrii osiowych jest obrotem
Podpowiedź 2: złożenie symetrii osiowej z samą sobą jest przekształceniem identycznościowym

[patry93]

1. Hm, tak, lecz będzie to raczej nie jeden punkt, ale cała prosta. Nie wiem, jak ją wyznaczyć...
2. Czy można to zadanie zrobić bez wyznaczenia prostej \(\displaystyle{ m}\)? Oraz czy obrót będący złożeniem dwóch symetrii osiowych można jakoś hm... zdefiniować, tzn. czegoś dowiedzieć się o kącie, o który obracamy?

[timon92]

czy obrót będący złożeniem dwóch symetrii osiowych można jakoś hm... zdefiniować, tzn. czegoś dowiedzieć się o kącie, o który obracamy?

Owszem można. Jeśli proste \(\displaystyle{ a,b}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ X}\) pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), to złożenie symetrii względem prostych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jest obrotem o środku w punkcie \(\displaystyle{ X}\) i kącie \(\displaystyle{ 2\alpha}\). (dowiedź tego, nie jest to trudne)

Znając ten fakcik zrobienie zadań powinno być łatwiejsze.