Znajdź boki prostokąta o największym obwodzie
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 20 paź 2009, o 00:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kędzierzyn-Koźle
Znajdź boki prostokąta o największym obwodzie
Znajdź boki prostokąta o największym obwodzie wpisanego w półkole o promieniu r = 2.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Znajdź boki prostokąta o największym obwodzie
Źle przeczytałem treść zadania. Poniższe rozwiązanie dotyczy tego samego zadania, tyle że z pełnym kołem.
Jest to zadanie optymalizacyjne. Oznaczmy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jako boki tego prostokąta. Zauważmy, że promień tworzy połowę przekątnej tego prostokąta. Z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = r^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = 4}\)
Musimy wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniające powyższy warunek, dla którego suma \(\displaystyle{ 2(a+b)}\) - obwód - jest największa. Wyznaczmy \(\displaystyle{ b}\) z warunku:
\(\displaystyle{ b^2 = 16 - a^2}\)
Skoro są to długości boków, to zawierają się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, a na tej podstawie:
\(\displaystyle{ b= \sqrt{16 - a^2}}\)
Niech nasza suma będzie funkcją:
\(\displaystyle{ f(a)=2(a+\sqrt{16 - a^2})}\)
I tu szukamy maksimum, do tego korzystamy z pochodnej i szukamy \(\displaystyle{ f'(a) = 0}\). Pamiętamy również o dziedzinie.
Oczywiście można to zrobić prościej. Już nawet intuicyjnie wiadomo, że to musi być kwadrat (udowodnić dlaczego).
Jest to zadanie optymalizacyjne. Oznaczmy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) jako boki tego prostokąta. Zauważmy, że promień tworzy połowę przekątnej tego prostokąta. Z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = r^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = 4}\)
Musimy wyznaczyć wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniające powyższy warunek, dla którego suma \(\displaystyle{ 2(a+b)}\) - obwód - jest największa. Wyznaczmy \(\displaystyle{ b}\) z warunku:
\(\displaystyle{ b^2 = 16 - a^2}\)
Skoro są to długości boków, to zawierają się w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, a na tej podstawie:
\(\displaystyle{ b= \sqrt{16 - a^2}}\)
Niech nasza suma będzie funkcją:
\(\displaystyle{ f(a)=2(a+\sqrt{16 - a^2})}\)
I tu szukamy maksimum, do tego korzystamy z pochodnej i szukamy \(\displaystyle{ f'(a) = 0}\). Pamiętamy również o dziedzinie.
Oczywiście można to zrobić prościej. Już nawet intuicyjnie wiadomo, że to musi być kwadrat (udowodnić dlaczego).
Ostatnio zmieniony 27 kwie 2010, o 23:39 przez JakimPL, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Znajdź boki prostokąta o największym obwodzie
Promień nie będzie połową przekątnej prostokata.
[/url]
\(\displaystyle{ x}\) - I bok prostokąta (\(\displaystyle{ x<4}\))
\(\displaystyle{ y}\) - II bok prostokąta (\(\displaystyle{ y<2}\))
\(\displaystyle{ (\frac{x}{2})^2+y^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+y^2=2^2 \Rightarrow y= \frac{ \sqrt{16-x^2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ Ob=2(x+y)}\)
\(\displaystyle{ Ob(x)=2(x+ \frac{ \sqrt{16-x^2} }{2})}\)
Musisz znaleźć \(\displaystyle{ x}\), dla ktorego funkcja \(\displaystyle{ Ob(x)}\) przyjmuje wartość największą.
[/url]
\(\displaystyle{ x}\) - I bok prostokąta (\(\displaystyle{ x<4}\))
\(\displaystyle{ y}\) - II bok prostokąta (\(\displaystyle{ y<2}\))
\(\displaystyle{ (\frac{x}{2})^2+y^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+y^2=2^2 \Rightarrow y= \frac{ \sqrt{16-x^2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ Ob=2(x+y)}\)
\(\displaystyle{ Ob(x)=2(x+ \frac{ \sqrt{16-x^2} }{2})}\)
Musisz znaleźć \(\displaystyle{ x}\), dla ktorego funkcja \(\displaystyle{ Ob(x)}\) przyjmuje wartość największą.