z1.
Udowodnij, że jeśli w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)o kątach \(\displaystyle{ \alpha\ \beta\ \gamma}\) zachodzi związek \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\sin\gamma}\) to ten trójkąt jest prostokątny.
z2.
Udowodnij,że jeśli długości a,b,c boków trójkąta spełniają warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{b+c}= \frac{3}{a+b+c}}\) to jeden z kątów trójkąta ma miarę \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\)
Dowód w trójkącie.
-
marcinek16marcin
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 13 wrz 2009, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Marcelino chleb i wino
- Podziękował: 153 razy
-
pelas_91
- Użytkownik
- Posty: 838
- Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 71 razy
Dowód w trójkącie.
Zadanie 1. Wskazówka:
Skorzytaj ze wzorów na sumę sinusów i sumę cosinusów:
\(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+cos\bata} = \frac{\sin \frac{\alpha+\beta}{2} }{\cos \frac{\alpha+\beta}{2} }}\)
Jednocześnie: \(\displaystyle{ \sin\gamma = \sin(\alpha+\beta)=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}\)
Przyrównaj, sinus sie skróci a z równania wyjdzie, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90*}\)
-- 27 kwietnia 2010, 22:06 --
Zadanie 2. Wskazówka.
Lewą stronę sprowadź do wspólnego mianownika. Następnie wymnóż na krzyż i przekształcaj. Poskraca się oj poskraca i będziesz mieć: \(\displaystyle{ b^2=a^2+c^2-ac}\). Wykorzystaj to i wstaw odpowiednio do Tw. cosinusów.
Skorzytaj ze wzorów na sumę sinusów i sumę cosinusów:
\(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+cos\bata} = \frac{\sin \frac{\alpha+\beta}{2} }{\cos \frac{\alpha+\beta}{2} }}\)
Jednocześnie: \(\displaystyle{ \sin\gamma = \sin(\alpha+\beta)=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2}}\)
Przyrównaj, sinus sie skróci a z równania wyjdzie, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta = 90*}\)
-- 27 kwietnia 2010, 22:06 --
Zadanie 2. Wskazówka.
Lewą stronę sprowadź do wspólnego mianownika. Następnie wymnóż na krzyż i przekształcaj. Poskraca się oj poskraca i będziesz mieć: \(\displaystyle{ b^2=a^2+c^2-ac}\). Wykorzystaj to i wstaw odpowiednio do Tw. cosinusów.
Ostatnio zmieniony 27 kwie 2010, o 23:14 przez pelas_91, łącznie zmieniany 2 razy.
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3247 razy
Dowód w trójkącie.
1.
Z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma}=2R}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{a}{2R}}\)
\(\displaystyle{ sin\beta= \frac{b}{2R}}\)
\(\displaystyle{ sin\gamma= \frac{c}{2R}}\)
Z twierdzenia cosinusów
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}\)
Podstaw to do \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\sin\gamma}\)
Po przekształceniach wyjdzie
\(\displaystyle{ a^2(a+b)+b^2(a+b)-c^2(a+b)=0}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
czyli trójkąt jest prostokątny-- dzisiaj, o 23:13 --
\(\displaystyle{ b^2=a^2+c^2-ac}\)
Z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma}=2R}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{a}{2R}}\)
\(\displaystyle{ sin\beta= \frac{b}{2R}}\)
\(\displaystyle{ sin\gamma= \frac{c}{2R}}\)
Z twierdzenia cosinusów
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\)
\(\displaystyle{ cos\beta= \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}\)
Podstaw to do \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\sin\gamma}\)
Po przekształceniach wyjdzie
\(\displaystyle{ a^2(a+b)+b^2(a+b)-c^2(a+b)=0}\)
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
czyli trójkąt jest prostokątny-- dzisiaj, o 23:13 --
Po skróceniu wyjdzie:pelas_91 pisze: Lewą stronę sprowadź do wspólnego mianownika. Następnie wymnóż na krzyż i przekształcaj. Poskraca się oj poskraca i będziesz mieć: \(\displaystyle{ b^2=a^2+c^2-3ac}\). Wykorzystaj to i wstaw odpowiednio do Tw. cosinusów.
\(\displaystyle{ b^2=a^2+c^2-ac}\)