Oblicz pole prostokąta.

[Adam_Mathe]

Oblicz pole prostokąta, którego przekątne długości 10 cm przecinają się pod kontem 45 stopni.

[piasek101]

Trochę dziwny kąt, ale \(\displaystyle{ P=0,5d^2 sin\alpha}\)

[sharky51]

Witam.
Mi pole wyszło \(\displaystyle{ 25\sqrt{2} cm^2}\)

a i b to odpowiednio krótszy i dłuższy bok prostokąta
a:
\(\displaystyle{ \frac{x}{5} = sin(\frac{\pi}{8}) \Rightarrow x = \frac{5\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a = 2x = 5\sqrt{2-\sqrt{2}}}\)
Analogicznie b:
\(\displaystyle{ \frac{y}{5} = sin(\frac{3\pi}{8}) \Rightarrow y = \frac{5\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ b = 2y = 5\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ a \cdot b = 25\sqrt{2}}\)

[Adam_Mathe]

Witam.
Mi pole wyszło \(\displaystyle{ 25\sqrt{2} cm^2}\)

a i b to odpowiednio krótszy i dłuższy bok prostokąta
a:
\(\displaystyle{ \frac{x}{5} = sin(\frac{\pi}{8}) \Rightarrow x = \frac{5\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ a = 2x = 5\sqrt{2-\sqrt{2}}}\)
Analogicznie b:
\(\displaystyle{ \frac{y}{5} = sin(\frac{3\pi}{8}) \Rightarrow y = \frac{5\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}\)
\(\displaystyle{ b = 2y = 5\sqrt{2+\sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ a \cdot b = 25\sqrt{2}}\)

Wynik się zgadza ale nie wiem skąd się to wszystko bierze.

[sharky51]

Trudno mi to będzie wytłumaczyć bez rysunku, ale spróbuję Narysuj sobie taki prostokąt, oznacz lewy krótszy bok jako a, a górny dłuższy jako b. Narysuj dwie przekątne - każda z nich ma długość 10 cm, przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\). Teraz bierzemy jeden trójkąt, np. ten po lewej stronie. Jest to trójkąt równoramienny, o długości każdego z ramion 5 cm (bo to połowa przekątnej) i kącie pomiędzy ramionami \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\). Narysuj sobie ten trójkąt osobno żeby lepiej to widzieć, najlepiej tak żeby kąt \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\) był na górze. Podstawa tego trójkąta to nasze a. Teraz rysujemy wysokość tego trójkąta, otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne (zajmiemy się znowu lewym). Wiemy, że jego lewe ramię (przeciwprostokątna) ma długość 5 cm, a kąt to połowa \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\) czyli \(\displaystyle{ 22,5^{\circ}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\). Podstawa to \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\), co w moim rozwiązaniu oznaczyłem jako x. Teraz widać, że \(\displaystyle{ \frac{x}{5} = sin(\frac{\pi}{8})}\). W ten sposób obliczamy x, czyli połowę boku a. Analogicznie robimy z drugim trójkątem (np. tym górnym) w prostokącie i obliczamy bok b. Mam nadzieję że opisałem to w miarę jasno .

[piasek101]

Trochę dziwny kąt, ale \(\displaystyle{ P=0,5d^2 sin\alpha}\)

Czyli : \(\displaystyle{ P=0,5\cdot 10^2\cdot 0,5\sqrt 2 = 25\sqrt 2}\) (jak już napisano, ale tu nieco krócej).