dowód równości odcinków

[rob1991]

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach A i B poprowadzono wspólną styczną MN, przy czym punkt M należy do pierwszego okręgu, a punkt N do drugiego. Wykaż, że prosta AB dzieli odcinek MN na połowy.

Próbowałem zrobić to zadanie z pól, ale do niczego nie doszedłem. Proszę o konkretne wskazówki.Do dwóch okręgów przecinających się w punktach A i B poprowadzono wspólną styczną MN, przy czym punkt M należy do pierwszego okręgu, a punkt N do drugiego. Wykaż, że prosta AB dzieli odcinek MN na połowy.

Próbowałem zrobić to zadanie z pól, ale do niczego nie doszedłem. Proszę o konkretne wskazówki.

[anna_]

Z twierdzenia o siecznej dla prawego okręgu
\(\displaystyle{ |CN|^2=|CA| \cdot |CB|}\)
Z twierdzenia o siecznej dla lewego okręgu
\(\displaystyle{ |MC|^2=|CA| \cdot |CB|}\)

stąd
\(\displaystyle{ |CN|^2=|MC|^2}\)
\(\displaystyle{ |CN|=|MC|}\)