Oblicz stosunek pola trójkąta do czworokąta

[malahanka]

Próbuje już od jakiegoś czasu rozwiązać zadanie i szukam podpowiedzi ;>

W trapezie ABCD (AB || CD) dwusieczna kąta wewnętrznego ABC jest prostopadła do ramienia AD trapezu i ma z tym ramieniem punkt wspólny P. Punkt P dzieli ramię AD w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka A. Oblicz stosunek pola trójkąta ABP do pola czworokąta PBCD

Początkowo wyszlam oczywiście od tego, że |PA|=2|PD|
Pole trójkąta\(\displaystyle{ = \frac{H* \left|PA \right| }{2}}\)

co dalej?

[florek177]

Przedłuż bok AD i BC aż się przetną w pkt. np. E. Trójkąt AEB jest równoramienny, a BP jest wysokością. DE=1/4AE. Pola ABP i BPO są równe i wynoszą 1/2 pola ABE, a pole DCE = 1/16 (bo DE/AE=1/4, a kwadrat skali = skala pól figur).

[malahanka]

No to wzięłam się znowu za zadanko


florek177 dziękuje bardzo, że mi tak bardzo rozjaśniłeś to zadanie Rozrysowałam sobie i chciałam tylko żeby ktoś sprawdził czy dalej dobrze główkuje.


Skoro pola trójkątów ABP oraz PBE są takie same, to pole czworokąta PBCD jest równe różnicy pola trójkąta ABP z trójkątem DCE ;>

czyli: \(\displaystyle{ P_{PBCD} = P_{ABP} - \frac{1}{16}P_{ABP}}\)

Stosunek pola trójkąta ABP do czworokąta PBCD:

\(\displaystyle{ \frac{P_{ABP}}{P_{ABP} - \frac{1}{16}P_{ABP} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{P _{ABP} }{ \frac{15}{16}P _{ABP} }}\)

Stosunek pól wynosi: \(\displaystyle{ \frac{16}{15}}\) ?

[florek177]

czyli: \(\displaystyle{ P_{PBCD} = P_{BPE} - \frac{1}{16}P_{ABE}}\)

\(\displaystyle{ P_{ABP}= P_{BPE} = \frac{8}{16}P_{ABE}}\)

Stosunek pola trójkąta ABP do czworokąta PBCD:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{8}{16} \, P_{ABE}}{\frac{8}{16} \, P_{ABE} - \frac{1}{16}P_{ABE} } = \frac{8}{7}}\)

[malahanka]

dzieki