Dowód w trójkącie

[WoytaS]

Uzasadnij, że jeżeli w trójkącie prostokątnym wartości sinusa i cotangensa jednego z kątów są równe to cosinus tego kąta jest równy \(\displaystyle{ 0,5 \cdot ( \sqrt{5}-1)}\). Jakieś pomysły?

[anna_]

\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{a}{c}}\)
\(\displaystyle{ ctg\alpha= \frac{b}{a}}\)

Z warunków zadania mamy
\(\displaystyle{ \frac{a}{c}=\frac{b}{a}}\)
\(\displaystyle{ a^2=cb}\)
Z twierdzenia Pitagorasa
\(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ cb+b^2=c^2}\)
\(\displaystyle{ b^2+cb-c^2=0}\)
Rozwiązujesz traktując c jak parametr (b,c>0)
\(\displaystyle{ b= \frac{c( \sqrt{5} -1)}{2}}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{b}{c}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{\frac{c( \sqrt{5} -1)}{2}}{c}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{ \sqrt{5} -1}{2}}\)