Czworokąt w półokręgu

[Tomas_91]

W półkole o średnicy \(\displaystyle{ KL}\) wpisano czworokąt \(\displaystyle{ KLMN}\) . Boki \(\displaystyle{ KN}\)i\(\displaystyle{ LM}\) przedłużono do przecięcia się w punkcie \(\displaystyle{ P}\).

a) Wykaż że prosta \(\displaystyle{ PQ}\), gdzie \(\displaystyle{ Q}\) jest punktem przecięcia przekątnych czworokąta \(\displaystyle{ KLMN}\) , jest prostopadła do boku \(\displaystyle{ KL}\) tego czworokąta.

b) Wiedząc dodatkowo, że \(\displaystyle{ \frac{|KL|}{|QL|}=2+ \sqrt{2}}\), oblicz stosunek pola trójkąta \(\displaystyle{ KLN}\) do pola trójkąta \(\displaystyle{ QLR}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest punktem wspólnym prostej \(\displaystyle{ PQ}\) i boku \(\displaystyle{ KL}\).

[gadonn]

Jest to zadanie ze zbioru pazdry;)
Pierwszy podpunkt jest dosyć łatwy, ponieważ odcinki \(\displaystyle{ |LN|}\) oraz \(\displaystyle{ |KM|}\) są wysokościami trójkąta \(\displaystyle{ KLP}\) i przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q}\) i z tego wynika, że \(\displaystyle{ |PR|}\) również jest wysokością, czyli jest to odcinek prostopadły do \(\displaystyle{ |KL|}\) . Nad drugim wciąż myślę. Wydaję mi się, że będzie trzeba skorzystać z podobieństwa trójkątów. pozdr

-- 1 maja 2010, o 17:34 --

okson, rozkminiłem.
A więc tak. Trójkąt \(\displaystyle{ KLN}\)jest podobny do \(\displaystyle{ QRL}\) i z tego wynika, że \(\displaystyle{ |KL|:|QL| = |LN|:|RL| = |KN|:|QR|}\)
co daje \(\displaystyle{ P _{1} _{2} = (2+ \sqrt{2}) ^{2}}\)