Oblicz pole rombu

daniel285 · Post autor: **daniel285** » 17 kwie 2010, o 18:32

W romb o kącie ostrym\(\displaystyle{ 60 ^\circ}\) wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu z bokami rombu tworzą czworokąt ABCD o polu\(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}}\)
a) Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest prostokątem
b) Oblicz pole rombu

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 kwie 2010, o 18:46

: AU; 76f7d338c6a4556cm.png (13.66 KiB) Przejrzano 786 razy

[/url]

a) Podpowiedź masz na rysunku
Trójkąty EAD i BGC są przystające i równoramienne.
Trójkąty AFB i DCH są przystające i równoramienne.
Wszystkie kąty czworokąta ABCD są proste, więc jest to prostokąt.

b) Kąt ostry między przekątnymi prostokąta jest równy \(\displaystyle{ 60^o}\). Ze wzoru na pole policz przekątną czyli i wysokość rombu. Potem z \(\displaystyle{ sin60^o}\) policz bok rombu i jego pole.

daniel285 · Post autor: **daniel285** » 17 kwie 2010, o 18:52

nie wiem jak to zrobic, podane jest pole prostokata wiec nie wiem jak ze wzoru na jego pole obliczyc wysokosc

niebieskooki · Post autor: **niebieskooki** » 17 kwie 2010, o 18:56

skoro pomiędzy przekątnymi masz 60 stopni to łatwo obliczyć boki prostokąta wyjdzie \(\displaystyle{ \sqrt[]{3}}\) i \(\displaystyle{ 3}\), a potem przekątną z tw. pitagorasa.

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 kwie 2010, o 20:38

\(\displaystyle{ d}\) - przekątna prostokąta
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}d^2sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}d^2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =3 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ d=2 \sqrt{3}}\)

fnt · Post autor: **fnt** » 10 lut 2012, o 01:15

anna_ pisze:

AU

76f7d338c6a4556cm.png (13.66 KiB) Przejrzano 786 razy

[/url]

a) Podpowiedź masz na rysunku
Trójkąty EAD i BGC są przystające i równoramienne.
Trójkąty AFB i DCH są przystające i równoramienne.
Wszystkie kąty czworokąta ABCD są proste, więc jest to prostokąt.

b) Kąt ostry między przekątnymi prostokąta jest równy \(\displaystyle{ 60^o}\). Ze wzoru na pole policz przekątną czyli i wysokość rombu. Potem z \(\displaystyle{ sin60^o}\) policz bok rombu i jego pole.

jak udowodnić, że trójkąty EAD, BGC, AFB, DCH są równoramienne?

anna_ · Post autor: **anna_** » 10 lut 2012, o 12:42

\(\displaystyle{ OA=OD=OB=OC}\) - promienie okręgu wpisanego styczne do boków
\(\displaystyle{ EG}\) - dwusieczna kąta ostrego

Trójkąt \(\displaystyle{ EAO}\) jest przystający do trójkąta \(\displaystyle{ EOD}\) (cecha kkk), czyli \(\displaystyle{ EA=ED}\)

Reszta podobnie

(dokładniej to trójkąty EAD i BGC będą równoboczne)

fnt · Post autor: **fnt** » 12 lut 2012, o 19:39

dziekuje za odpowiedz.

mam jeszcze pytanie: czy katy OBG, EDO, GCO i EAO są kątami prostymi? trochę koślawy rysunek u siebie zrobiłem i tego za bardzo nie widać było. na tym zamieszczonym przez ciebie widac ze jest to kat prosty. punkt stycznosci okregu z prosta i srodek okregu tworza zawsze odcinek prostopadły do tej prostej?

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 lut 2012, o 19:58

fnt pisze:punkt stycznosci okregu z prosta i srodek okregu tworza zawsze odcinek prostopadły do tej prostej?

Zgadza się.