trójkąt w trapezie

[varianttsi]

Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości 13cm i 15 cm, pole trapezu jest równe \(\displaystyle{ 168cm ^{2}}\), a kąty przy podstawie są ostre. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są końce dłuższej podstawy trapezu i punkt przecięcia się jego przekątnych.

[rubik1990]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a,b,h}\) odpowiednio długości dłuższej i krótszej podstawy oraz wysokości trapezu. Korzystając z własności czworokąta opisanego na okręgu mamy \(\displaystyle{ a+b=13+15=28}\). Korzystając teraz z pola możemy obliczyć wysokość która wynosi \(\displaystyle{ h=12}\). Teraz jak sobie narysujesz wysokości wychodzące z wierzchołków boku o długości \(\displaystyle{ b}\) podzielisz trapez na prostokąt i dwa trójkąty. Możemy policzyć długości podstaw tych małych trójkątów korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Po prostych obliczeniach wychodzi odpowiednio \(\displaystyle{ 5}\) \(\displaystyle{ 9}\). Teraz długość dłuższej podstawy możemy napisać \(\displaystyle{ a=b+14}\). Korzystając z tego i warunku \(\displaystyle{ a+b=28}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a=21,b=7}\). Potrzebna jest nam wysokość trójkąta by policzyć pole. Punkt przecięcia się przekątnych dzieli wysokość na dwie krótsze wysokości \(\displaystyle{ c, d}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) to wysokość oparta na boku dł. \(\displaystyle{ a}\). Z podobieństwa trójkątów (zastanów się których) mamy \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow 3=\frac{c}{d}}\). Pamiętając, że \(\displaystyle{ c+d=12}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ c=9}\). Pole jest już dalej łatwo policzyć.