W równoległobok o przekątnych 20 cm i 12 cm wpisano romb (tzn. każdy wierzchołek rombu należy do innego boku równoległoboku) w taki sposób, że boki rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku. Oblicz długość boku rombu.
Zadanie rozwiązałem tyle że wynik nie zgadza się z odpowiedzią. Zrobiłem rysunek podglądowy:
To że jedna z przekątnych dzieli bok AD równoległoboku wyprowadziłem z tw. Talesa: \(\displaystyle{ \frac{h}{|ED|}=\frac{2h}{|AD|}}\) --> \(\displaystyle{ |AD|=2|ED|}\)
Potem z podobieństwa trójkątów AFE i ABD: \(\displaystyle{ \frac{x}{12}=\frac{\frac{1}{2}a}{a}}\) i wyszło mi x=6cm a powinno 7,5 cm?
marcin22 pisze:
To że jedna z przekątnych dzieli bok AD równoległoboku wyprowadziłem z tw. Talesa: \(\displaystyle{ \frac{h}{|ED|}=\frac{2h}{|AD|}}\) --> \(\displaystyle{ |AD|=2|ED|}\)
te proporcje nie odpowiadają oznaczeniom na rysunku.
Nikt nie powiedział, że wierzchołki rombu są na środkach boków równoległoboku...
Z Talesa: \(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|AD|}= \frac{|EF|}{|BD|}= \frac{|EF|}{12}}\)
\(\displaystyle{ \frac{|DE|}{|AD|}= \frac{|EH|}{|AC|}= \frac{|EH|}{20}}\) (ciąg dalszy w spoilerach)
Ukryta treść:
Dodajemy stronami: \(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|AD|}+\frac{|DE|}{|AD|}=\frac{|EF|}{12}+\frac{|EH|}{20}}\)
Ale \(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|AD|}+\frac{|DE|}{|AD|}= \frac{|AD|}{|AD|}=1}\), a \(\displaystyle{ |EF|=|EH|}\)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{|EF|}{12}+\frac{|EF|}{20}=1}\), co po rozwiązaniu faktycznie daje 7,5.
Czyli jednak błąd w początkowym założeniu, nienawidzę takich pomyłek bo od razu całe zadanie szlag trafia
Dzięki za pomoc w rozwiązaniu, przeanalizowałem, wszystko zrozumiałem (swoją drogą ciekawy trick w dodaniu tego stronami, widziałem takie coś w kilku innych zadaniach i rzeczywiście czasem pomaga dojść do rozwiązania).
