Oblicz sumę kąta... w deltoidze

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 7 kwie 2010, o 16:45

W deltoidzie przekątne są równe dłuższym bokom. Oblicz sumę: kata utworzonego przez
dłuższe boki i kata utworzonego przez krótsze boki.

Moim skromnym zdaniem jest za mało danych.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 7 kwie 2010, o 17:43

Istnieje tylko jeden deltoid spełniający te warunki... Skoro przekątne mają taką samą długość jak dłuższe boki, to ten deltoid będzie składał się z dwóch trójkątów, wtym jeden będzi równoboczny.
Więc kąt utworzony przez dłuższe boki ma \(\displaystyle{ 60^{o}}\). Zastanów się teraz jak zrobić podpunkt a).
Serdecznie pozdrawiam.

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 7 kwie 2010, o 18:49

Okej deltoid może musi 360 wszystkich kątów. 60 już mamy jeszcze 2razy 30 bo to są połówki trójkąta równobocznego (czyli mają po 30oC,60oC,90oC). Zostało nam 240oC do wykorzystanie na drugi trójkąt. Z czego wiemy, że jeden kąt będzie rozwarty większy od 90oC, lecz mniejszy od 180oC (bo nie powstanie trójkąt), a 2 pozostałe będą równe (bo będzie to trójkąt równoramienny). Więcej nie wiemy, więc jak to obliczyć?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 7 kwie 2010, o 18:54

Wiemy również, że druga przekątna też ma długość dłuższego boku...

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 7 kwie 2010, o 19:22

A jak się to ma do kątów to już nie wiemy

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 7 kwie 2010, o 19:42

Możnaby rozwikłać ten problem tw. cosinusów, ale zastanawiam się, czy jest łatwiejszy sposób. Miałeś na lekcjach tw. cosinusów???

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 7 kwie 2010, o 19:52

Taaaa, stosunek długości przyprostokątnej do przeciwprostokątnej.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 7 kwie 2010, o 19:56

Nie mówię o funkcji cosinus.
Twierdzenie cosinusów to:
\(\displaystyle{ c ^{2}=a ^{2}+b ^{2}-2abcos \gamma}\) i tak dalej. To jest do wszystkich trójkątów, nie tylko do prostokątnego. Dzięki temu możemy obliczyć kąty w trójikącie.
Pozdrawiam.

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 7 kwie 2010, o 20:07

Ale jak Przecież, nie masz tu niczego co jest w stopniach, cos y to?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 7 kwie 2010, o 20:10

Użyjmy tego do naszego zadania. Wystawiamy drugą przekątną. Podziliła ona ten trójkąt rozwartokątny na dwa ostrokątne przystające. jeden bok tego małego trójkąta to połowa boku deltoidu. Zastanów się jaką długość ma drugi bok, jeśli przekątna ma długośćboku deltoidu? Najlepiej zrób sobie rysunek.
Powodzenia!

MathMaster · Post autor: **MathMaster** » 7 kwie 2010, o 20:48

Jeden bok małego trójkąta to połowa boku, którego boku Jeżeli tego trójkąta rozwartokątnego to nic nam to nie daje Drugi bok? Drugi bok tego małego trójkąta ostrokątnego, rozwartokątnego, czy deltoidu?

Aha i jeszcze czym jest \(\displaystyle{ cos \gamma}\) w tw. cosinusów? Bo to chyba zależy od tego jak sobie oznaczę kąty i boki...!

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 8 kwie 2010, o 13:18

Dobrze panie kolego.
Znalazłem łatwiejszy sposób!
Wiesz co to jest \(\displaystyle{ cos \alpha}\) to wiesz co to jest też \(\displaystyle{ tg \alpha}\).
Zastanów się jaką długośćma odcinek od punktu przecięcia się przekątnych(krótsza część przekątnej o długości dłuższego boku deltoidu). To jest krótszy bok małego trójkąta ostrokątnego. dłuższy bok małego trójkąta ostrokątnego to połowa dłuższego boku deltoidu. Liczysz tę część. Teraz liczysz tg alfa, gdzie alfa to największy kąt w małym trójkącie ostrokątnym. Patrzysz w tablicach trygonometrycznych jaki kąt ma taki tg. Kąt który Ci wyjdzie to połowa kątu między krótszymi ramionami. Więc kąt między krótszymi ramionami jest dwa razy większy...
Powodzenia! Czekam na prawidłową odpowiedź!

mkb · Post autor: **mkb** » 8 kwie 2010, o 13:36

Z danych wynika, że:
(1) dłuższe boki i jedna przekątna tworzą trójkąt równoboczny,
(2) dłuższy bok, krótszy bok i druga przekątna tworzą trójkąt równoramienny.
Kąt między dłuższymi bokami deltoidu wynosi 60 stopni (jeden z kątów (1).
Ze względu na symetrię kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego (2) wynosi 30 stopni. Kąt przy podstawie tego trójkąta (2) wynosi (180-30)/2=75 stopni. Kąt między krótszymi bokami deltoidu jest jego podwojeniem, czyli wynosi 150 stopni.

bartek5 · Post autor: **bartek5** » 8 kwie 2010, o 14:38

\(\displaystyle{ \left|ABC \right| \rightarrow rownoboczny}\)
\(\displaystyle{ \left| CDA\right|i \left|CBD \right| \rightarrow rownoramienne}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle _{CAB} \rightarrow 60 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle _{ABC} \rightarrow 60 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle _{ACB} \rightarrow 60 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle _{BCD i DCA} \rightarrow 30 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle _{CAD,ADC,CDB,CBD} \rightarrow 75 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle _{ADB} \rightarrow 75 ^{o} \cdot 2=150 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle _{ACB} \rightarrow 60 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle _{ADB} + \sphericalangle _{ACB}=210 ^{o}}\)