trójkąt rozwartokątny-ciąg arytmetyczny

askas · Post autor: **askas** » 5 kwie 2010, o 15:52

Długości boków pewnego trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4. Jaką długość może przyjmować najkrótszy bok tego trójkąta, aby był rozwartokątny?

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 5 kwie 2010, o 17:19

Niech
a, a+4, a+8
oznaczają długości odpowiednich ramion trójkąta. Na przeciw najdłuższego boku leży kąt o największej mierze. Zapiszmy z tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ (a+8)^2=a^2+(a+4)^2-2*a*(a+4)cos \alpha}\)
Aby trójkąt był rozwartokątny \(\displaystyle{ cos \alpha <0}\).
Dalej już chyba dasz radę.

askas · Post autor: **askas** » 5 kwie 2010, o 17:59

Skąd ten warunek? Przecież ten kąt rozwarty jest większy niż 90 stopni, a dla 90 stopni cos wynosi 0, więc nie ten znak nie nie powinien być odwrotnie? I nie powinno być drugiego warunku \(\displaystyle{ cos \alpha <1}\)?

rodzyn7773 · Post autor: **rodzyn7773** » 5 kwie 2010, o 18:06

To już tak dokładnie. Aby nasz kąt był rozwartokątny to
\(\displaystyle{ -1<cos \alpha <0}\)

Masz rację, że \(\displaystyle{ cos 90=1}\) ale dla kątów \(\displaystyle{ \alpha \in (90, 180)}\) mamy:
\(\displaystyle{ -1<cos \alpha<0}\)

askas · Post autor: **askas** » 5 kwie 2010, o 18:55

Dziękuję

edith1423 · Post autor: **edith1423** » 23 cze 2011, o 13:47

Hm...Z tego, co się orientuję, to na podstawie nie ma twierdzenia cosiusów, więc jakby ktoś w przyszłości szukał innego rozwiązania, to je przedstawię.

Można skorzystać również z twierdzenia, które mówi o tym, że trójkąt jest rozwartokątny, jeśli
a^2+b^2< c^2
Mamy boki: a, b=a+4, c=a+8 ( gdyż różnica to 4)
Stosujemy teraz owe twierdzenie:
a^2+(a+4)^2< (a+8)^2
Obliczamy to. Wychodzi nam, że a=-4 lub a=12. Ujemny pierwiastek odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Warunkiem zadania jest a>4, gdyż różnica wynosi 4. ( bok b=a+4, więc a musi być większe od 4 np.) Więc na osi zaznaczamy 4 i 12. Rysujemy parabolę, ostateczna odp. to a należy (4,12).

Może się komuś przyda.