czworokąt i podzielony okrąg

[askas]

Punkty A, B, C, D dzielą okrąg o średnicy 20 cm w stosunku 2:1:1:2. Oblicz obwód i pole powstałego czworokąta.

[ppolciaa17]

katy Środkowe maja dwa większe 120; 2 mniejsze 60 stopni.
skoro średnica ma 20 to promień 10 ...

z twerdzenia cosinusów..

\(\displaystyle{ \left|AB \right|^{2}=100+100-2 \cdot 100cos120}\)
\(\displaystyle{ \left| AB\right|^{2} =200+100}\)
\(\displaystyle{ \left|AB \right|^{2} =300}\)
\(\displaystyle{ \left|AB \right|= 10 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \left| AB\right|= \left|AD \right|}\)
kąt ABC jest prosty bo jest oparty na średnicy.. wiec :
\(\displaystyle{ (10 \sqrt{3} )^{2}+ \left| BC\right|^{2}=20^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| BC\right|^{2}=400-300}\)
\(\displaystyle{ \left|BC \right|= \left|CD \right|=10}\)

\(\displaystyle{ Obw. = 10 \cdot 2+10 \sqrt{3} \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ obw. = 20(1+ \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ P=2 \cdot \frac{1}{2} 10 \cdot 10 \cdot sin120+2 \cdot \frac{1}{2} 10 \cdot 10 \cdot sin60}\)
\(\displaystyle{ =100 \sqrt{3}}\)