Pole i obwód trójkąta

[Niql]

Witam. Robię pewne zadanie i nie mam pomysłu, jak pójść dalej.
Treść: W trójkącie dana jest długość boku |AB| = a oraz kąty przyległe do tego boku: \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Wyznacz obwód i pole tego trójkąta.

Oznaczyłam już kąty trójkąta, mam \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ 2\alpha}\) i \(\displaystyle{ 180 ^{\circ}-3\alpha}\). Nietrudno się domyślić, że chodzi o trójkąt 30-60-90, tylko jak tego dowieść i pójść z zadaniem dalej?

[tometomek91]

Oznacz jeszcze pozostałe boki i skorzystaj z twierdzenia sinusów. Gdy już wyrazisz resztę boków za pomocą a i \(\displaystyle{ \alpha}\), wtedy, żeby obliczyć pole, można np. skorzystać ze wzoru:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab sin \gamma}\).

[Niql]

A czy mógłbyś wytłumaczyć mi bardziej 'łopatologicznie'? ^^ Jestem dość kiepska w tym, lepiej zrozumiem, mając krok po kroku objaśnione.

[tometomek91]

Ok, niech trójkąt nazywa się ABC. Wtedy |AB|=a, |BC|=b i |AC|=c.
\(\displaystyle{ | \sphericalangle BAC|= \alpha, | \sphericalangle ABC|= 2 \alpha, | \sphericalangle BCA|= 180^{o}-3\alpha}\).
Z twierdzenia sunusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{sin(180^{o}-3\alpha)}=}\)
Ze wzorów rekurencyjnych:
\(\displaystyle{ =\frac{a}{sin3\alpha}=\frac{b}{sin\alpha} \Rightarrow b=\frac{a sin\alpha}{sin3\alpha}}\)
I podobnie z bokiem c:
\(\displaystyle{ c=\frac{asin 2\alpha}{sin3\alpha}}\).
Zatem obwód to:
\(\displaystyle{ Ob=a+\frac{a sin\alpha}{sin3\alpha}+\frac{asin 2\alpha}{sin3\alpha}}\)
Pole:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab sin \gamma\\
P=\frac{1}{2}a \cdot \frac{a sin\alpha}{sin3\alpha} \cdot sin3\alpha}\).

[Niql]

Super, wielkie dzięki.