Trapez, punkt przecięcia się przekątnych

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
mazur14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 30 mar 2010, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lisków
Pomógł: 4 razy

Trapez, punkt przecięcia się przekątnych

Post autor: mazur14 »

Mam problem z następującym zadaniem: Ramiona trapezu połączono odcinkiem MN równoległym do podstaw i przechodzącym przez punkt P przecięcia jego przekątnych. Wykaż, że P jest środkiem odcinka MN.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Trapez, punkt przecięcia się przekątnych

Post autor: piasek101 »

mazur14 pisze:Mam problem z następującym zadaniem: Ramiona trapezu połączono odcinkiem MN równoległym do podstaw i przechodzącym przez punkt P przecięcia jego przekątnych. Wykaż, że P jest środkiem odcinka MN.
Można wykazać, że to nie jest prawdą.
mazur14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 30 mar 2010, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lisków
Pomógł: 4 razy

Trapez, punkt przecięcia się przekątnych

Post autor: mazur14 »

W zadaniach typu "wykaż, że ..." postawiona teza przeważnie jest prawdziwa, więc punkt P jest na pewno środkiem odcinka MN.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Trapez, punkt przecięcia się przekątnych

Post autor: klaustrofob »

trapez ABCD, AB dłuższa podstawa. przedłużasz ramiona do przecięcia w X. prosta XP przecina CD w 1 i AB w 2. z podobieństwa ABX i CDX oraz A2X i C1X mamy: \(\displaystyle{ \frac{XC}{XA}=\frac{C_1}{A_2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{XC}{XA}=\frac{CD}{AB}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{C_1}{A_2}=\frac{CD}{AB}}\). z podobieństwa ABP i CDP oraz C1P i B2P mamy: \(\displaystyle{ \frac{CD}{AB}=\frac{DP}{BP}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{C_1}{B_2}=\frac{DP}{BP}}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{C_1}{B_2}=\frac{CD}{AB}}\). czyli \(\displaystyle{ \frac{C_1}{A_2}=\frac{C_1}{B_2}}\) czyli \(\displaystyle{ A_2=B_2}\), tzn. 2 jest środkiem AB i w konsekwencji P jest środkiem MN.
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2010, o 16:36 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Ekhem... brak Latex-a! ja wiem, że prościej było zapisać wszystko po swojemu, ale mi to życia nie ułatwia.
mazur14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 30 mar 2010, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lisków
Pomógł: 4 razy

Trapez, punkt przecięcia się przekątnych

Post autor: mazur14 »

Wielkie dzięki klaustrofob
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Trapez, punkt przecięcia się przekątnych

Post autor: piasek101 »

mazur14 pisze:W zadaniach typu "wykaż, że ..." postawiona teza przeważnie jest prawdziwa, więc punkt P jest na pewno środkiem odcinka MN.
Tak mój błąd - nieważne o czym myślałem.

Ale z tą pewnością warto czekać do uzasadnienia.
ODPOWIEDZ