Okrąg opisany na trójkącie

nikola012 · Post autor: **nikola012** » 31 mar 2010, o 18:00

Proszę o pomoc w tych zadaniach:

zad. 1

W okrąg o promieniu 5 cm wpisany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm. Oblicz długość ramion tego trójkąta (rozpatrz dwa przypadki).

zad. 2
a) Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne maja długość 7 cm i 12 cm.

b) Pole trójkąta prostokątnego jest równe 18 cm2. Wysokość przeprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość 4 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

c) Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 3:4. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 10cm. Oblicz z pole tego trójkąta.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 31 mar 2010, o 18:12

1.
a)
Teoria:
Zauważywszy, że jest to trójkąt prostokątny środek okregu opisanego znajduje sie na srodku przeciwprostokątnej. Wiec promien wynosi 2cm.

b)
I przypadek
Wystarczy narysować zaistniała sytuacje. Wiadomo ze \(\displaystyle{ R=5}\). Druga ważna informacja to podstawa równa 6 oraz równoramienność. WYstarczy ów trójkąt podzielić na dwa równe prostokątne. Oraz od punktu srodka okregu do wierzchołka podstawy. Jego dlugość równa sie \(\displaystyle{ 5}\) ponieważ jest to promień. Uzyskujemy wiec tw. Pitagorasa:
y=ramie
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}6)^{2}+x^{2}=5^{2}}\)
\(\displaystyle{ x=4cm}\)

Jedną część wysokościu mamy z głowy a druga wynosi 5 ponieważ to promień ; ). \(\displaystyle{ h=9}\)
Znowu tw. Pitagorasa. teraz liczymy juz ramie:
\(\displaystyle{ 3^{2}+9^{2}=y^{2}}\)
\(\displaystyle{ y= 3\sqrt{10}[cm]}\)
uff...

II przypadek
...łatwiej. Mamy już wysokość jednego trójkąta. drugi trójkąt równoramienny powstanie dokladnie po drugiej stronie podstawy. wiec: \(\displaystyle{ h2=1}\)

Znowu pitagoras:
...
tym samym sposobem

\(\displaystyle{ y= \sqrt{10}}\)

2. Pitagoras xd

\(\displaystyle{ 7^{2}+12^{2}=c^{2}}\)

\(\displaystyle{ c= \sqrt{193}}\)
R jest połowa c... ponieważ c to przeciwprostokątna

\(\displaystyle{ R= \frac{ \sqrt{193} }{2}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 31 mar 2010, o 18:30

2. c) czyli przyprostokątne to \(\displaystyle{ a=3x}\); \(\displaystyle{ b=4x}\); przeciwprostokątna z Pitagorasa \(\displaystyle{ c=5x}\).

A przecież (R=0,5c).

nikola012 · Post autor: **nikola012** » 31 mar 2010, o 18:32

a mógłby ktoś mi te wszystkie przykłady rozpisać?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 31 mar 2010, o 18:44

c) kolega zrobił

a "b" spróbuj sama... i doceń prace innych ; )

nikola012 · Post autor: **nikola012** » 31 mar 2010, o 18:47

Zobaczę czy mi wyjdzie. a w tym zad. 1 w a) wyszło mi inaczej, bo 2pier z 2. ( 2/R= sin 45= pier z 2/2
R= 2pier z 2-- 31 mar 2010, o 18:01 --a jeszcze mam pytania do zad. 1 b) II przypadek: która to jest ta wysokość h2? I dlaczego 1 ?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 31 mar 2010, o 19:05

Skoro Mieliśmy rozpatrzyć 2 przypadki. h2 to jest druga wysokość trójkąta -> druga możliwa do stworzenia w takim okregu... xD. Skoro Śr=10 a poprzedniego trójkata wysokość obliczyliśmy i wyszla 9. Ten drugi musi miec 10-9=1

zad 1
a) niepotrzeba tu sie bawic trygonometrią. To co Ci napisalem wynika definicji. Zauważ, że trójkąt prostokątny to jest połowa prostokąta odciętego w miejscu przekątnej ; ). To co ty policzyłaś z cos to jest długość ramienia a nie promień okregu ; )

nikola012 · Post autor: **nikola012** » 31 mar 2010, o 19:16

hmm.. no juz wiem, który to trójkąt ale jeszcze sie zastanawiam skąd R=10 ?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 31 mar 2010, o 19:20

Pfu... nie R tylko średnica ; )

nikola012 · Post autor: **nikola012** » 31 mar 2010, o 19:46

w zad. 2 b) wyszło r= pierwiastek z 65?-- 31 mar 2010, o 18:59 --i nie za bardzo wiem jak zrobić to c) mógłbys mi napisać skąd to a=3x b=4x?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 31 mar 2010, o 21:35

nikola012 pisze: i nie za bardzo wiem jak zrobić to c) mógłbys mi napisać skąd to a=3x b=4x?

Przecież w zadaniu było
,,Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równy 3:4."

nikola012 · Post autor: **nikola012** » 31 mar 2010, o 21:43

i pole wyjdzie 15 cm2?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 31 mar 2010, o 21:58

nikola012 pisze:i pole wyjdzie 15 cm2?

Jeśli to o 2. c) to nie.
Pisz skąd to masz.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 31 mar 2010, o 22:03

nie

\(\displaystyle{ P=96cm^{2}}\)

Skoro promien okregu opisnaego ma 10cm... przeciwprostokątna ma dlugosc 20 cm

3:4

wiec:

\(\displaystyle{ (\frac{3}{7}x)^{2}+ (\frac{4}{7}x)^{2}=400}\)
x - zmienna pomocnicza (suma przyprostokatnych)

\(\displaystyle{ x=28}\)

I przyprostokątna
\(\displaystyle{ \frac{3}{7}*28=12}\)

II przyprostokatna

\(\displaystyle{ \frac{4}{7}*28=16}\)

reszta juz latwa

nikola012 · Post autor: **nikola012** » 31 mar 2010, o 22:25

\(\displaystyle{ (\frac{3}{7}x)^{2}+ (\frac{4}{7}x)^{2}=400}\)

\(\displaystyle{ x=28}\)

jak to wyliczyc?

9/49 x2 + 16/49x2 =400 a dalej: 25/49x2=400 ? bo cos 28 mi nie wychodzi..