Wysokości w trójkącie
-
dymek010
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 1 lis 2009, o 21:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 13 razy
Wysokości w trójkącie
W trójkącie prostokątnym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną na odcinki długości a i b. Oblicz długość tej wysokości jeśli: A=5cm B=2dm
-
rubik1990
- Użytkownik
- Posty: 520
- Rejestracja: 28 sty 2009, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 86 razy
Wysokości w trójkącie
Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie trójkątem prostokątnym i niech \(\displaystyle{ \sphericalangle A=90^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ E}\) będzie spodkiem wysokości której długości szukamy.
Niech \(\displaystyle{ \left|AB \right|=d}\),\(\displaystyle{ \left|CA \right|=c}\), \(\displaystyle{ \left|CE \right|=a}\),\(\displaystyle{ \left|EB \right|=b}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AE\right|=h}\). Mamy wtedy spełnione następujące równości:
\(\displaystyle{ c^{2}+d^{2}=(a+b)^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+h{2}=c^{2}}\)
\(\displaystyle{ b^{2}+h^{2}=d^{2}}\)
Sumują dwie ostatnie równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+2h^{2}=c^{2}+d^{2}=(a+b)^{2}}\)
Stąd mamy, że
\(\displaystyle{ h^{2}=ab}\), czyli \(\displaystyle{ h=\sqrt{ab}}\)
Niech \(\displaystyle{ \left|AB \right|=d}\),\(\displaystyle{ \left|CA \right|=c}\), \(\displaystyle{ \left|CE \right|=a}\),\(\displaystyle{ \left|EB \right|=b}\) oraz \(\displaystyle{ \left| AE\right|=h}\). Mamy wtedy spełnione następujące równości:
\(\displaystyle{ c^{2}+d^{2}=(a+b)^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+h{2}=c^{2}}\)
\(\displaystyle{ b^{2}+h^{2}=d^{2}}\)
Sumują dwie ostatnie równości otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+2h^{2}=c^{2}+d^{2}=(a+b)^{2}}\)
Stąd mamy, że
\(\displaystyle{ h^{2}=ab}\), czyli \(\displaystyle{ h=\sqrt{ab}}\)