Rówanie stycznej

[bhutan]

Napisz równanie stycznych do okręgu o i prze chodzących przez puynkt A, jesli:
\(\displaystyle{ o: x ^{2} +y ^{2} =4; A(6,-2)}\)

[junior15]

\(\displaystyle{ y=ax+b \rightarrow -2=6a+b}\) , \(\displaystyle{ y=ax-6a-2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2} +y ^{2} =4\\y=ax-6a-2\end{cases}}\)
Dla jakich wartości parametru a układ równań posiada 1 rozwiązanie, czyli \(\displaystyle{ \Delta=0}\)

[Pancernik]

\(\displaystyle{ \left(x-x_s \right)^2 + \left( y-y_s\right)^2 =r^2}\) - równanie okręgu
\(\displaystyle{ S=(x_s,y_s)}\) - środek okręgu

Środek okręgu \(\displaystyle{ o}\) jest równy \(\displaystyle{ O=\left( 0,0\right)}\)

Liczymy odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od środka okręgu \(\displaystyle{ o}\)
\(\displaystyle{ \left|AO \right|= \sqrt{ \left( 6-0\right)^2 +\left( -2-0\right)^2 }=2 \sqrt{10}}\)

Niech styczne \(\displaystyle{ b,c}\) okręgu \(\displaystyle{ o}\) przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ A}\) stykają się z okręgiem odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\).

Zauważmy, że odległość punktu \(\displaystyle{ B}\) od \(\displaystyle{ A}\) jest taka sama jak odległość punktu \(\displaystyle{ C}\) od \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ \left| AB\right| = \left|AC \right|}\).

Odległość \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) możemy obliczyć ze wzoru pitagorasa, bo promień okręgu tworzy ze styczną kąt prosty, czyli:
\(\displaystyle{ r=2\\
r^2+ \left|AB \right| ^2= \left| AO\right| ^2\\
4+\left|AB \right| ^2=40\\
\left|AB \right|=6}\)

Stwórzmy jeszcze jeden okrąg \(\displaystyle{ a}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i promieniu równemu \(\displaystyle{ \left|AB \right|}\). Okręgi \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ o}\) przecinają się w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Czyli tworzymy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=4\\ \left( x-6\right)^2 + \left( y+2\right)^2=6^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y= \sqrt{4-x^2}\quad \vee \quad y= -\sqrt{4-x^2}\quad\left(\star \right) \\ \left( x-6\right)^2 + \left( y+2\right)^2=6^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left(\star\right)\\ \left( x-6\right)^2 + \left( \sqrt{4-x^2}+2\right)^2=36 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left(\star\right)\\ x^2-12x+36 + 4-x^2+4\sqrt{4-x^2}+4=36 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left(\star\right)\\ 4\sqrt{4-x^2}=12x-8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left(\star\right)\\ \left\sqrt{4-x^2}=3x-2 \quad \right/ \left( \right) ^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left(\star\right)\\ 4-x^2 = 9x^2-12x+4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left(\star\right)\\ 0 = 10x^2-12x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \left(\star\right)\\ 0 = 5x^2-6x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y= \sqrt{4-x^2}\quad \vee \quad y= -\sqrt{4-x^2}\\ 0 = x\left(5x-6\right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x_1=0,\ x_2= \frac{6}{5}\quad \mathrm{czyli}\quad y_1=2,\ y_2= \frac{8}{5}\quad \vee \quad y_1=-2,\ y_2= -\frac{8}{5}}\)

Następnie podstawiamy pary \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ y_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_2}\) i \(\displaystyle{ y_2}\) do równania okręgu \(\displaystyle{ p}\), aby sprawdzić które na nim leżą:
\(\displaystyle{ \left( x-6\right)^2 + \left( y+2\right)^2=6^2}\)

\(\displaystyle{ x_1=0, y_1=2\\
\left( 0-6\right)^2 + \left( 2+2\right)^2=6^2\\
36 + 16 \neq 36}\)
Ten punkt nie leży na okręgu \(\displaystyle{ p}\).

\(\displaystyle{ x_1=0, y_1=-2\\
\left( 0-6\right)^2 + \left( -2+2\right)^2=6^2\\
36 + 0 = 36}\)
Ten punkt leży na okręgu \(\displaystyle{ p}\).

\(\displaystyle{ x_1=\frac{6}{5}, y_1=\frac{8}{5}\\
\left( \frac{6}{5}-6\right)^2 + \left( \frac{8}{5}+2\right)^2=6^2\\
\frac{576}{25} + \frac{324}{25} = 36}\)
Ten punkt leży na okręgu \(\displaystyle{ p}\).

\(\displaystyle{ x_1=\frac{6}{5}, y_1=-\frac{8}{5}\\
\left( \frac{6}{5}-6\right)^2 + \left( -\frac{8}{5}+2\right)^2=6^2\\
\frac{576}{25} - \frac{324}{25} \neq 36}\)
Ten punkt nie leży na okręgu \(\displaystyle{ p}\).

Szukane punkty to:
\(\displaystyle{ B= \left(0,-2 \right)\\
C= \left( \frac{6}{5}, \frac{8}{5} \right)}\)

Obliczamy teraz równanie stycznej \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_b=ax_b+b \\ y_a=ax_a+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2=0+b \\ -2=6a+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=-2 \\ a=0 \end{cases} \\
b: y=-2}\)

Obliczamy teraz równanie stycznej \(\displaystyle{ c}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_c=ax_c+b \\ y_a=ax_a+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{8}{5}=\frac{6}{5}a+b \\ -2=6a+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{8}{5}=\frac{6}{5}a+b \\ b=-6a-2 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} \frac{8}{5}=\frac{6}{5}a-6a-2 \\ b=-6a-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a= -\frac{3}{4} \\ b= \frac{5}{2} \end{cases}\\
c: y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}}\)