Równanie stycznych równoległych.

[bhutan]

Napisz równanie stycznych do okręgu o i równoległych do prostej k:

\(\displaystyle{ o: (x+3) ^{2} +(y-5) ^{2} =16; k :y=x}\)

[piasek101]

Szukane y=x+b mają być odległe od środka okręgu o 4 (promień).

[Pancernik]

Tworzymy prostą prostopadłą \(\displaystyle{ l}\) do prostej \(\displaystyle{ k}\) przechodzącą przez środek okręgu \(\displaystyle{ o}\)

Środek okręgu \(\displaystyle{ o}\)
\(\displaystyle{ O= \left( -3, 5\right)}\)

Obliczamy prostą \(\displaystyle{ l}\)
Skoro jest prostopadła to \(\displaystyle{ a_k=- \frac{1}{a_l}}\)
\(\displaystyle{ y=a_lx+b\\
5= \left( -1\right) \cdot \left( -3\right)+b\\
b=2\\
l:y=-x+2}\)

Następnie liczymy punkty przecięcia się okręgu \(\displaystyle{ o}\) z prostą \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-x+2 \\ \left(x+3\right) ^2 +\left(y-5\right) ^2 =16 \end{cases}
\Rightarrow \begin{cases} y=-x+2 \\ \left(x+3\right) ^2 +\left(-x-3\right) ^2 =16 \end{cases}
\Rightarrow \begin{cases} y=-x+2 \\ x^2+6x+9+x^2+6x+8=16\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases} y=-x+2 \\ 2x^2+12x+2=0\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases} y=-x+2 \\ x^2+6x+1=0\end{cases}\\
\Delta=b^2-4ac=36-4=32\\
x_1= \frac{-6-4 \sqrt{2} }{2} =-3-2 \sqrt{2}\\
x_2= \frac{-6+4 \sqrt{2} }{2} =-3+2 \sqrt{2}\\
y_1=-x_1+2=3+2 \sqrt{2}+2=5+2 \sqrt{2}\\
y_2=-x_2+2=3-2 \sqrt{2}+2=5-2 \sqrt{2}}\)

Mamy teraz punkty \(\displaystyle{ M= \left(-3-2 \sqrt{2}, 5+2 \sqrt{2}\right)}\) i \(\displaystyle{ N= \left(-3+2 \sqrt{2}, 5-2 \sqrt{2}\right)}\)

Proste równoległe \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ k}\) przechodzą odpowiednio przez punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\).

Obliczamy prostą \(\displaystyle{ m}\)
\(\displaystyle{ a_m=a_k=1\\
y=a_mx+b\\
5+2 \sqrt{2}=-3-2 \sqrt{2}+b\\
b=8+4 \sqrt{2}\\
m:y=x+8+4 \sqrt{2}}\)

Obliczamy prostą \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ a_n=a_k=1\\
y=a_nx+b\\
5-2 \sqrt{2}=-3+2 \sqrt{2}+b\\
b=8-4 \sqrt{2}\\
n:y=x+8-4 \sqrt{2}}\)