Długość cięciwy

[zlafoka]

Dany jest okrąg o środku O i promieniu 3. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do tego okręgu w punktach M i N (rysunek pod zadaniem). Wiedząc, że kąt MPN ma miarę \(\displaystyle{ 30^{o}}\), oblicz długość cięciwy MN.

[JakimPL]

Narysuj środek O, połącz z punktami N i M, po czym wyznacz miarę kąta środkowego. Z funkcji trygonometrycznych będzie można wtedy wyliczyć długość połowy cięciwy.

Styczne są zawsze pod kątem prostym, a suma miar kątów czworokąta wynosi \(\displaystyle{ 360^\circ}\).

[Pancernik]

\(\displaystyle{ \sphericalangle MON=180^\circ - 30^\circ=150^\circ\\
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\\
\left| MN\right|^2=r^2+r^2-2r^2\cos 150^\circ\\
\left| MN\right|^2=3^2+3^2-2 \cdot 3^2\cos 150^\circ\\
\left| MN\right|^2=18-18\cos 150^\circ\\
\cos\gamma =\cos \left( \alpha + \beta \right) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\
\cos 150^\circ=\cos \left( 90^\circ + 60^\circ\right) =\cos 90^\circ \cos 60^\circ -\sin 90^\circ \sin 60^\circ \\
\cos 150^\circ =0 \cdot \frac{1}{2}-1 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}\\
\cos 150^\circ =-\frac{ \sqrt{3} }{2}\\
\left| MN\right|^2=18-18 \cdot \left(-\frac{ \sqrt{3} }{2} \right) \\
\left| MN\right|^2=18+9\sqrt{3}\\
\left| MN\right|^2=9\left(2+\sqrt{3}\right)\\
\left| MN\right|=3 \sqrt{2+\sqrt{3}}}\)