Kąty ostre między przekątną d równoległoboku a jego bokami maja miary \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz obwód i pole tego równoległoboku.
Będę wdzięczny za rozwiązanie tego zadania
Obliczyć pole i obwód równoległoboku
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Obliczyć pole i obwód równoległoboku
Niech równoległobok nazywa się ABCD, gdzie \(\displaystyle{ |AC|=d;\ | \sphericalangle BAC| =\beta}\) oraz \(\displaystyle{ | \sphericalangle CAD|=\alpha}\). Jego boki niech nazywają się a i b, a e będzie jego krótszą przekątną. Zatem \(\displaystyle{ | \sphericalangle ADC|=| \sphericalangle ABC|=180^{o}-\alpha-\beta}\). Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ACD:
\(\displaystyle{ \frac{d}{sin(\alpha+\beta)}=\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta} \Rightarrow a=\frac{dsin\alpha}{sin(\alpha+\beta)} \wedge b=\frac{dsin\beta}{sin(\alpha+\beta)}}\)
Zatem obwód wynosi:
\(\displaystyle{ Ob=2(a+b)=2 \left(\frac{dsin\alpha}{sin(\alpha+\beta)}+\frac{dsin\beta}{sin(\alpha+\beta)} \right)}\)
Z twierdzenia kosinusów zastosowanego do trójkąta ABD:
\(\displaystyle{ e^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(\alpha+\beta)}\)
Pole więc wynosi:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ef=\frac{1}{2}\cdot \left( a^{2}+b^{2}-2abcos(\alpha+\beta) \right) \cdot d}\).
\(\displaystyle{ \frac{d}{sin(\alpha+\beta)}=\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta} \Rightarrow a=\frac{dsin\alpha}{sin(\alpha+\beta)} \wedge b=\frac{dsin\beta}{sin(\alpha+\beta)}}\)
Zatem obwód wynosi:
\(\displaystyle{ Ob=2(a+b)=2 \left(\frac{dsin\alpha}{sin(\alpha+\beta)}+\frac{dsin\beta}{sin(\alpha+\beta)} \right)}\)
Z twierdzenia kosinusów zastosowanego do trójkąta ABD:
\(\displaystyle{ e^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(\alpha+\beta)}\)
Pole więc wynosi:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ef=\frac{1}{2}\cdot \left( a^{2}+b^{2}-2abcos(\alpha+\beta) \right) \cdot d}\).