n kąt i 2n kąt...

[mol_ksiazkowy]

Wykaż, że długości boku n kąta i 2n kąta foremnego wpisanego w ten sam okag o promieniu 1 powiązane są zależnoscia:
\(\displaystyle{ x_{2n}= \sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{x_n ^2}{4}}}}\)

[DEXiu]

Robimy rysunek, zauważamy, że z definicji funkcji trygonometrycznej w trójkącie prostokątnym (bok \(\displaystyle{ x_{n}}\) będzie prostopadły do promienia okręgu poprowadzonego do wierzchołka \(\displaystyle{ x_{2n}}\)-kąta leżącego między końcami rzeczonego odcinka \(\displaystyle{ x_{n}}\)) \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}x_{n}}{1}=sin\alpha}\) (gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to połowa kąta opartego na łuku wyznaczonym przez odcinek \(\displaystyle{ x_{n}}\)). Teraz z "jedynki tryg." zamieniamy ten sinus na cosinus (\(\displaystyle{ \alpha}\) należy do pierwszej ćwiartki więc zarówno sinus jak i cosinus będą dodatnie) i korzystamy z tw. cosinusów dostając co należy