nietypowe (tw. cosinusów)

[janjansen]

Obwód trójkąta ABC wynosi 18, długość boku AB wynosi 8 (naprzeciw boku AB znajduje się kąt o mierze 60 stopni). Oblicz długości boków BC oraz AC.

Napisze, do czego doszedłem.
Przyjmując następujące oznaczenia: \(\displaystyle{ \left|AC \right|=b \wedge \left|BC \right|=a}\)
Z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ a=10-b}\)

Stosując twierdzenie cosinusów:

\(\displaystyle{ 64=(10-b)^2+b^2-2(10-b)bcos \frac{ \pi }{3}}\)
\(\displaystyle{ 64=100-20b+b^2+b^2-10b+b^2}\)
\(\displaystyle{ 0=3b^2-30b+36}\)
I rozwiązując równanie kwadratowe otrzymujemy:
\(\displaystyle{ [b _{1} approx 1,4}\)
\(\displaystyle{ b _{2} \approx 8,6}\)

No i głównym problemem jest to, że wadą mojej metody jest fakt, że trzeba podać pierwiastek z delty w przybliżeniu, co oznacza, że pierwiastki też nie wyjdą dokładnie (w odpowiedziach podają dokładne wyniki: \(\displaystyle{ 5- \sqrt{13} \wedge 5+ \sqrt{13}}\) - czyli w przybliżeniu 1,4 i 8,6 )
A ja zwyczajnie nie mam pojęcia jak to dokładnie wyliczyć...

[JankoS]

\(\displaystyle{ 0=3b^2-30b+36, \ \Delta =900-432=13 \cdot 36, \\ b_1= \frac{30-6 \sqrt{13} }{6}=5- \sqrt{13}, \ b_2= \frac{30+6 \sqrt{13} }{6}=5+\sqrt{13}}\) .

[xanowron]

Z ciekawości zapytam, jak Ty to równanie rozwiązałeś?

[JankoS]

Chyba (jeszcze) nauczają tego w liceum. Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego.

[xanowron]

To było pytanie do autora, dlaczego dostał od razu przybliżone wyniki, a nie skorzystał z gotowego algorytmu

[Inkwizytor]

Też się nad tym zastanawiam: jak można było otrzymac wyniki przybliżone nie otrzymując "po drodze" wyników dokładnych. No chyba że autor rozwiązał to zadanie metodą "brute force"