Dany jest czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Długości boków tego czworokąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy podwojonej różnicy ciągu. Pole czworokąta jest równe \(\displaystyle{ P=18\sqrt{30}}\). Wyznacz różnicę ciągu.
Wyliczyłem cosinus i sinus kąta alfa (między bokami 4r i 5r) i na tym stanąłem. Mam do tego zadania etapy rozwiązań i tam jest właśnie wyliczony sinus i później pole zapisane jako \(\displaystyle{ P=2r^{2}\sqrt{30}}\), a z tego już łatwo wyliczyć r. Jak dojść do tego zapisu?
Pole czworokąta wpisanego w okrąg
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Pole czworokąta wpisanego w okrąg
Ze wzoru na pole trójkąta, twierdzenia o czworokacie wpisanym w okrąg i trwierdzenia cosinusów mamy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha+\gamma=\pi \\2r \cdot 3r \cdot sin\alpha+4r \cdot 5r \cdot sin\gamma=26r^2sin\alpha=2P \\ (2r)^2+(3r)^2-2 \cdot 2r \cdot 3r \cdot cos\alpha=(4r)^2+(5r)^2-2 \cdot 4r \cdot 5r \cdot cos\gamma \end{cases}}\).
Z pierwszego i trzeciego
\(\displaystyle{ 13r^2-12r^2cos\alpha=41r^2+80cos\alpha \Rightarrow cos\alpha= -\frac{3}{16} \Rightarrow sin\alpha= \frac{ \sqrt{247} }{16}}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha+\gamma=\pi \\2r \cdot 3r \cdot sin\alpha+4r \cdot 5r \cdot sin\gamma=26r^2sin\alpha=2P \\ (2r)^2+(3r)^2-2 \cdot 2r \cdot 3r \cdot cos\alpha=(4r)^2+(5r)^2-2 \cdot 4r \cdot 5r \cdot cos\gamma \end{cases}}\).
Z pierwszego i trzeciego
\(\displaystyle{ 13r^2-12r^2cos\alpha=41r^2+80cos\alpha \Rightarrow cos\alpha= -\frac{3}{16} \Rightarrow sin\alpha= \frac{ \sqrt{247} }{16}}\).