dowód z czworokątem

[wzornik]

Wykaż, że pole dowolnego czworokąta ABCD jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} |AC| \cdot |BD| \cdot sin \alpha}\) , gdzie AC i BD są przekątnymi tego czworokąta, natomiast \(\displaystyle{ \alpha}\) jest miarą kata pomiędzy tymi przekątnymi.

[Justka]

Niech O punkt przecięcia przekątnych oraz \(\displaystyle{ |AO|=a, \ |OB|=b, \ |OC|=c, |OD|=d}\), wtedy

\(\displaystyle{ P_{czworokata}=\frac{1}{2}sin \alpha ab + \frac{1}{2} sin\alpha cd + \frac{1}{2} sin (\pi-\alpha) ad + \frac{1}{2} sin (\pi-\alpha) bc \\
P_{czworokata}= \frac{1}{2} sin \alpha (ab+bc+cd+ad)= \frac{1}{2} sin \alpha (a+c)(b+d)= \frac{1}{2} |AC| |BD| sin\alpha}\)

c.n.d.