dowód z czworokątem
dowód z czworokątem
Wykaż, że pole dowolnego czworokąta ABCD jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} |AC| \cdot |BD| \cdot sin \alpha}\) , gdzie AC i BD są przekątnymi tego czworokąta, natomiast \(\displaystyle{ \alpha}\) jest miarą kata pomiędzy tymi przekątnymi.
Ostatnio zmieniony 23 mar 2010, o 17:12 przez wzornik, łącznie zmieniany 2 razy.
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
dowód z czworokątem
Niech O punkt przecięcia przekątnych oraz \(\displaystyle{ |AO|=a, \ |OB|=b, \ |OC|=c, |OD|=d}\), wtedy
\(\displaystyle{ P_{czworokata}=\frac{1}{2}sin \alpha ab + \frac{1}{2} sin\alpha cd + \frac{1}{2} sin (\pi-\alpha) ad + \frac{1}{2} sin (\pi-\alpha) bc \\
P_{czworokata}= \frac{1}{2} sin \alpha (ab+bc+cd+ad)= \frac{1}{2} sin \alpha (a+c)(b+d)= \frac{1}{2} |AC| |BD| sin\alpha}\)
c.n.d.
\(\displaystyle{ P_{czworokata}=\frac{1}{2}sin \alpha ab + \frac{1}{2} sin\alpha cd + \frac{1}{2} sin (\pi-\alpha) ad + \frac{1}{2} sin (\pi-\alpha) bc \\
P_{czworokata}= \frac{1}{2} sin \alpha (ab+bc+cd+ad)= \frac{1}{2} sin \alpha (a+c)(b+d)= \frac{1}{2} |AC| |BD| sin\alpha}\)
c.n.d.