dowód tożsamości dla dowolnego czworokąta

kostek92 · Post autor: **kostek92** » 21 mar 2010, o 21:53

znalezłem na tym forum https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=18896 pewną tożsamość dotyczącą dowolnego czworokąta:

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=d_1^2+d_2^2+4x^2}\)

gdzie:
\(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ c}\), \(\displaystyle{ d}\) - boki dowolnego czworokąta
\(\displaystyle{ d_{1}}\), \(\displaystyle{ d_{2}}\) - przkątne
\(\displaystyle{ x}\) - odległość pomiędzy środkami przekątnych

mógłbym prosić o przybliżenie jej dowodu albo chociaż na czym on mniej więcej polega, z czego można skożystać...

timon92 · Post autor: **timon92** » 22 mar 2010, o 20:00

rachunek na wektorach dość szybko daje rozwiązanie

kostek92 · Post autor: **kostek92** » 22 mar 2010, o 22:52

no właśnie znalazłem taką wskazówkę ale nie bardzo wprawiony w wektorach jestem:
Niech wektor a = AB, b = BC, c=CD, d=DA, u=M'A, v=M"B, w=M'M".
gdzie A, B, C, D - wierzchołki czworokąta; M', M'' - środki przekątnych;
Obliczyć \(\displaystyle{ a^2}\), \(\displaystyle{ b^2}\), \(\displaystyle{ c^2}\), \(\displaystyle{ d^2}\) i dodać.
chodzi mi o to jak podnieść wektor do kwadratu, bo chyba o to we wskazówce chodzi...

timon92 · Post autor: **timon92** » 22 mar 2010, o 23:07

wiesz, co to jest iloczyn skalarny?

kostek92 · Post autor: **kostek92** » 23 mar 2010, o 08:58

tzn. tak plus minus...

w sensie jak to konkretnie zastosować to nie bardzo...

timon92 · Post autor: **timon92** » 23 mar 2010, o 15:05

No to jak już wiesz, iloczyn skalarny wektorów to działanie zdefiniowane tak: \(\displaystyle{ \vec{x} \circ \vec{y} = \left| \vec{x} \right| \cdot \left|\vec{y} \right| \cdot \cos \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między wektorami \(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y}}\).

W szczególności \(\displaystyle{ \vec{x}\circ \vec{x} = x\cdot x \cdot \cos 0 = x^2}\)

No i warto wiedzieć, że iloczyn skalarny jest rozdzielny względem dodawania: \(\displaystyle{ \vec{x} \circ (\vec {y} + \vec{z}) = \vec {x} \circ \vec {y} + \vec {x} \circ \vec {z}}\)

kostek92 · Post autor: **kostek92** » 23 mar 2010, o 15:32

no to właśnie takie wiadomości z wikipedii posiadam ale jak to tutaj zastosować, bo przecież jakbym postępował zgodnie ze wskazówką no to...
\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+d^2=}\)
no i jak to dodać i co to nam da...

timon92 · Post autor: **timon92** » 23 mar 2010, o 16:57

raczej próbowałbym zapisać \(\displaystyle{ d_1^2 = (\vec{a} + \vec{b})^2}\), resztę analogicznie; wzory skróconego mnożenia i powinno się wszystko poskracać

kostek92 · Post autor: **kostek92** » 24 mar 2010, o 15:07

już dzięki wpadłem na inny pomysł...
umieściłem czworokąt w układzie współrzędnych i wszystko się poskracało...