wykaż że
-
grusia18
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 27 gru 2007, o 11:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Dębica
- Podziękował: 10 razy
wykaż że
Wykaż że jeśli a,b,c są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi że a<b<c oraz \(\displaystyle{ \alpha}\),\(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio na przeciwko boków a,b,c, to tg\(\displaystyle{ \alpha}\) < tg\(\displaystyle{ \beta}\) < tg\(\displaystyle{ \gamma}\)
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
wykaż że
Z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{a}{2R}\\
sin \beta= \frac{b}{2R}\\
sin \gamma= \frac{c}{2R}}\)
Z twierdzenia kosinusów:
\(\displaystyle{ cos \alpha=\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2bc}\\
cos \beta=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ac}\\
cos \gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\)
\(\displaystyle{ tg \alpha< tg \beta< tg \gamma\\
\frac{2abc}{2R(c^{2}+b^{2}-a^{2}}<\frac{2abc}{2R(c^{2}+a^{2}-b^{2}}<\frac{2abc}{2R(a^{2}+b^{2}-c^{2}}\\
c^{2}+b^{2}-a^{2}>c^{2}+a^{2}-b^{2}>a^{2}+b^{2}-c^{2} \Leftrightarrow a<b<c}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{a}{2R}\\
sin \beta= \frac{b}{2R}\\
sin \gamma= \frac{c}{2R}}\)
Z twierdzenia kosinusów:
\(\displaystyle{ cos \alpha=\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2bc}\\
cos \beta=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ac}\\
cos \gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\)
\(\displaystyle{ tg \alpha< tg \beta< tg \gamma\\
\frac{2abc}{2R(c^{2}+b^{2}-a^{2}}<\frac{2abc}{2R(c^{2}+a^{2}-b^{2}}<\frac{2abc}{2R(a^{2}+b^{2}-c^{2}}\\
c^{2}+b^{2}-a^{2}>c^{2}+a^{2}-b^{2}>a^{2}+b^{2}-c^{2} \Leftrightarrow a<b<c}\)