Długość promieni okręgów
Długość promieni okręgów
Zewnętrznie styczne okręgi o środkach \(\displaystyle{ S_{1}}\), \(\displaystyle{ S_{2}}\) i promieniach \(\displaystyle{ r _{1}}\), \(\displaystyle{ r _{2}}\) (\(\displaystyle{ r _{1}}\)>\(\displaystyle{ r _{2}}\)) są styczne do prostej l. Kąt między prostą przechodzącą przez środki okręgów i prosta l ma miarę 30 stopni. Wyznacz długości promieni okręgów, jeśli wiadomo, że ich suma jest równa 24.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Długość promieni okręgów
Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza odległość punktu \(\displaystyle{ S_2}\) od punktu przecięcia danej stycznej z prostą przechodzącą przez środki obu okręgów.
Mamy wtedy \(\displaystyle{ x=r_2\cot 30^o=r_2\sqrt{3}}\). Z twierdzenia Talesa, przy założonej zewnętrznej styczności okręgów, jest ponadto \(\displaystyle{ \frac{x}{r_2}=\frac{x+r_1+r_2}{r_1}}\). Stąd i z założenia \(\displaystyle{ r_1+r_2=24}\) dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{r_2\sqrt{3}+24}{r_1}}\), czyli \(\displaystyle{ r_1\sqrt{3}=r_2\sqrt{3}+24}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ r_1=r_2+8\sqrt{3}}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ 2r_2=24-8\sqrt{3}}\), tj. \(\displaystyle{ r_2=12-4\sqrt{3}}\) i wobec tego \(\displaystyle{ r_1=12+4\sqrt{3}}\).
Mamy wtedy \(\displaystyle{ x=r_2\cot 30^o=r_2\sqrt{3}}\). Z twierdzenia Talesa, przy założonej zewnętrznej styczności okręgów, jest ponadto \(\displaystyle{ \frac{x}{r_2}=\frac{x+r_1+r_2}{r_1}}\). Stąd i z założenia \(\displaystyle{ r_1+r_2=24}\) dostajemy \(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{r_2\sqrt{3}+24}{r_1}}\), czyli \(\displaystyle{ r_1\sqrt{3}=r_2\sqrt{3}+24}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ r_1=r_2+8\sqrt{3}}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ 2r_2=24-8\sqrt{3}}\), tj. \(\displaystyle{ r_2=12-4\sqrt{3}}\) i wobec tego \(\displaystyle{ r_1=12+4\sqrt{3}}\).