Wzajemne położenie okręgów

[marek_93]

Bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie o co w tym chodzi
Dane są dwa okręgi \(\displaystyle{ o(A, r _{1}}\), \(\displaystyle{ o(B, r _{2}}\) takie, że:
a)\(\displaystyle{ r _{1} = 3k + 1, r _{2} = 2k + 3, \left|AB \right|= 6k -3}\)
b)\(\displaystyle{ r _{1} = k +1, r _{2} = 2k - 2, \left|AB \right| = 4k - 4}\)
Określ położenie okręgów, w zależności od parametru k

Z góry dziękuję

[Crizz]

180931.htm

Spójrz tutaj.

[marek_93]

Czy byłby ktoś tak miły i mi to wytłumaczył, bo nie chodzi mi o samo rozwiązanie, ja tego w ogóle nie kapuje..
Z góry dziękuję

[Crizz]

Znajdź środek i promień okręgu. Policz odległość środków okręgów \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|}\)
*jeśli \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|>r_{1}+r_{2}}\), to okręgi są rozłączne (zewnętrznie)
*jeśli \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=r_{1}+r_{2}}\), to okręgi są styczne zewnętrznie
*jeśli \(\displaystyle{ |r_{1}-r_{2}|<|O_{1}O_{2}|<r_{1}+r_{2}}\), to okręgi się przecinają
*jeśli \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=|r_{1}-r_{2}|}\), to okręgi są styczne wewnętrznie
*jeśli \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|<|r_{1}-r_{2}|}\), to okręgi są rozłączne(wewnętrznie)
*jeśli \(\displaystyle{ |O_{1}O_{2}|=0}\), to okręgi są współśrodkowe

Dokładniej to już chyba tego nie można wytłumaczyć. Jeśli pytasz, skąd to się bierze, to zrób sobie rysunki we wszystkich tych sytuacjach, narysuj promienie i zobaczysz, dlaczego tak jest. Narysuj sobie np. dwa okręgi styczne zewnętrznie oraz poprowadź promienie do punktu styczności. Odcinek złożony z tych promieni będze jednocześnie odcinkiem łączącym środki okręgów. Logiczne jest, ze jak teraz odsuniesz te okręgi od siebie, to odległość ich środków zwiększy się, więc będzie większa od sumy tych promieni, itd.

Weźmy przykładowo podpunkt a). Wiesz, że odległość ich promieni wynosi \(\displaystyle{ |AB|=6k-3}\). Obliczasz sumę długości promieni \(\displaystyle{ r_{1}+r_{2}=5k+4}\) oraz moduł różnicy długości promieni \(\displaystyle{ |r_{1}-r_{2}|=|k-2|}\)

Okręgi te będą:
rozłączne (zewnętrznie), gdy \(\displaystyle{ |AB|>r_{1}+r_{2}}\), czyli gdy:
\(\displaystyle{ 6k-3>5k+4}\)
\(\displaystyle{ k>7}\)
styczne zewnętrznie, gdy \(\displaystyle{ |AB|=r_{1}+r_{2}}\), czyli gdy:
\(\displaystyle{ 6k-3=5k+4}\)
\(\displaystyle{ k=7}\)
przecinające się, gdy \(\displaystyle{ |r_{1}-r_{2}|<|AB|<r_{1}+r_{2}}\), czyli dla \(\displaystyle{ k\in\left(\frac{5}{7},7\right)}\)
styczne wewnętrznie, gdy \(\displaystyle{ |AB|=|r_{1}-r_{2}|}\), czyli gdy:
\(\displaystyle{ 6k-3=|k-2|}\)
\(\displaystyle{ k=\frac{5}{7}}\)
rozłączne (wewnętrznie), gdy \(\displaystyle{ 0<|AB|<|r_{1}-r_{2}|}\), czyli gdy
\(\displaystyle{ k\in \left(\frac{1}{2},\frac{5}{7}\right)}\)
współśrodkowe, gdy \(\displaystyle{ |AB|=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ 6k-3=0}\)
\(\displaystyle{ k=\frac{1}{2}}\)