Długości przekątnych rombu

[martle]

Oblicz długości przekątnych rombu o obwodzie 48 cm, w którym stosunek długości przekątnych wynosi 2.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ x,\alpha}\) oznaczają długość krótszej przekątnej oraz miarę kąta ostrego rombu. Wystarczy znaleźć wartość \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ 2x}\). Z założenia wynika, że długość boku rombu wynosi 12 cm. Stąd i z twierdzenia kosinusów otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2=12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot\cos\alpha \\ (2x)^2=12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot\cos(\pi-\alpha) \end{cases}}\).

Dodając stronami równania w powyższym układzie oraz korzystając ze wzoru redukcyjnego dostajemy \(\displaystyle{ 5x^2=4\cdot 12^2}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{24\sqrt{5}}{5}}\).