Dowód- trójkąt

[martuska31]

Udowodnij, że jeżeli a,b i c są długościami boków trójkąta, to \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} > \frac{1}{2} c ^{2}}\)
Jeżeli ktoś może to zrobić to będę wdzięczna

[bane]

korzystając z zależności w tw. cosinusów, dla konta \(\displaystyle{ \alpha}\) pomiędzy ramionami a, b:

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 > \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - 2ab\cos \alpha)}\)
\(\displaystyle{ a^2 + b^2 > -2ab\cos\alpha}\)

nierówność oczywiście spełniona dla \(\displaystyle{ \cos\alpha > 0}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha\in (0, 90^\circ)}\)
im miara kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) bliżej 180, tym prawa strona większa

sprawdźmy skrajny i dość abstrakcyjny przypadek gdu \(\displaystyle{ \alpha = 180^\circ,\ \cos\alpha = -1}\) :

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 > 2ab}\)
\(\displaystyle{ a^2 - 2ab +b^2 > 0}\)

nierówność jest spełniona, bowiem \(\displaystyle{ a^2 -2ab +b^2 = (a-b)^2 > 0}\)

[JankoS]

Zał.\(\displaystyle{ a,b,c>0, \ a+b>c.}\)
Teza \(\displaystyle{ a^2+b^2> \frac{1}{2}c^2}\).
Dowód niewprost
\(\displaystyle{ \neg (a^2+b^2> \frac{1}{2}c^2 ) \Rightarrow a^2+b^2 \le \frac{1}{2}c^2 \Rightarrow \left(a^2+b^2 \le \frac{1}{2}c^2 \wedge a^2+b^2 \le \frac{1}{2}c^2 \right) \Rightarrow \left(a \le \frac{1}{2}c \wedge b \le \frac{1}{2}c\right) \Rightarrow a+b \le c \Rightarrow \neg \left(a+b>c \right) .}\)

[bane]

wyjaśnij prozę na jakiej podstawie jest ta implikacja
\(\displaystyle{ a^2+b^2 \le \frac{1}{2}c^2 \Rightarrow a \le \frac{1}{2}c \wedge b \le \frac{1}{2}c}\)

[bosa_Nike]

Udowodnij, że jeżeli a,b i c są długościami boków trójkąta, to \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} > \frac{1}{2} c ^{2}}\)

Z nierówności średnia kwadratowa - średnia arytmetyczna i nierówności trójkąta:

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2}>\frac{c}{2}}\)

[JankoS]

wyjaśnij prozę na jakiej podstawie jest ta implikacja
\(\displaystyle{ a^2+b^2 \le \frac{1}{2}c^2 \Rightarrow a \le \frac{1}{2}c \wedge b \le \frac{1}{2}c}\)

Fkatycznie zdarzyło mi śię pomylić
\(\displaystyle{ a^2+b^2 \le \frac{1}{2}c^2 \Rightarrow \left(a^2 \le \frac{1}{2}c^2 \wedge b^2 \le \frac{1}{2}c^2 \right) \Rightarrow \left(a \le \frac{1}{ \sqrt{2} }c \wedge b \le \frac{1}{ \sqrt{2} }c \right) .}\)
I w ten sposób caly moj dowód nie jest dowodem.