Ilość przekątnych, okręgi wpisane, opisane itd.

[martuska31]

Zad 1. Jakie wielokąty mają mniej przekątnych niż boków?

Zad 2. Przekątna AC dzieli czworokąt wypukły ABCD na dwa trójkąty. Udowodnij, że okręgi wpisane w te trójkąty są styczne do AC w tym samym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy |AB|+|CD|=|BC|+|AD|.

Zad 3. Niech AB i CD będą średnicami danego okręgu, M- dowolnym punktem tego okręgu,
a N i P- rzutami prostokątnymi punktu M odpowiednio na proste AB i CD.
Udowodnij, że długość odcinka PN nie zależy od wyboru punktu M.

[tometomek91]

1.
Liczba przekątnych \(\displaystyle{ p}\) w wielokącie o \(\displaystyle{ n}\) bokach wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ p=\frac{n(n-3)}{2}}\)
Należy rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2} > n;\ \ n \in \mathbb{N} \wedge n \ge 3}\)

[martuska31]

1. Dane są cztery proste a, b, c, d oraz punkt M nie lezący na żadnej z nich. Przez punkt M poprowadzono 11 prostych. Udowodnij, ze co najmniej jedna z nich przecina proste a,b,c,d w czterech różnych punktach.