pole trójkata

[kolezankaqq]

Dany jest prostokat o kącie prostym prze wierzchołku C. R i r to promiene okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkat. Oblicz pole tego trójkąta.

[Longines]

W końcu o co chodzi ?.
O prostokąt czy trójkąt. A może o trójkąt w prostokącie.

[actraz]

Dobry rysunek z 3 promieniami r(promień okręgu wpisanego).
R-promień okręgu opisanego
a, b - przyprostokątne
c- przeciwprostokątna
\(\displaystyle{ c=2R}\)
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=4R^{2}}\)
z rys.:
\(\displaystyle{ c=2R=a-r+b-r}\)
\(\displaystyle{ 2(R+r)=a+b}\) obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ 4(R^{2}+2Rr+r^{2})=a^{2}+2ab+b^{2}}\) wstawiamy \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=4R^{2}}\)
\(\displaystyle{ 8Rr+4r^{2}=2ab}\) dzielimy przez 4
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ab=r(2R+1)}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab=r(2R+1)}\)