Dowod wysokosci trojkata rownoramiennego

Zimnx · Post autor: **Zimnx** » 11 mar 2010, o 22:29

Witam, mam problem z jednym przypadkiem tego zadania:
W trojkacie rownoramiennym dluzsza wysokosc jest 2 razy dluzsza od krotszej. Obliczyc katy tego trojkata.

W 1 przypadku jako tako moze tak byc, oto on:

\(\displaystyle{ b^{2}=4x^{2}+y^{2}}\)
\(\displaystyle{ b= \sqrt{4x^{2}+y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \Delta ABM \sim \Delta DBC}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{2y}= \frac{2x}{\sqrt{4x^{2}+y^{2}}} / : x}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2y} = \frac{2}{\sqrt{4x^{2}+y^{2}}}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{4x^{2}+y^{2}} = 4y / \uparrow ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 4x^{2} + y^{2} = 16y^{2}}\)

\(\displaystyle{ 4x^{2} = 15y^{2}}\)

\(\displaystyle{ \tg\alpha = \frac{2x}{y}}\)

\(\displaystyle{ \tg ^{2}\alpha = \frac{4x^{2}}{y^{2}} = \frac{15y^{2}}{y^{2}} = 15}\)

\(\displaystyle{ \tg\alpha = \sqrt{15}}\)

Ok to jest mozliwe. Ale tu mamy drugi przypadek:

\(\displaystyle{ b=\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{b} = \frac{x}{y}}\)

\(\displaystyle{ y=b}\)

\(\displaystyle{ y=\sqrt{x^{2} + y^{2}} / \uparrow^{2}}\)

\(\displaystyle{ y^{2} = x^{2} + y^{2}}\)

\(\displaystyle{ x^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ x=0}\)

no wlasnie i tu wystepuje problem. Ma ktos pomysl na inny dowod?

Mortify · Post autor: **Mortify** » 12 mar 2010, o 02:43

No to pewnie taki przypadek jest niemożliwy ^^ (co wykazałeś). W tym drugim przypadku jak mi się da się pokazać, że wysokość może być maksymalnie równa ileś tam xd no, ale może bredzę, bo jest już późno xD

Zimnx · Post autor: **Zimnx** » 12 mar 2010, o 15:07

Oo, kolega z mojego miasta
Zadanie jest prawdopodobnie brane z jakiegos ruskiego podrecznika. Jesli jako tako wychodzi z pierwszego przypadku, to i drugi tez powinien byc prawdopodobny. Chyba wykorzystam do tego komputer i napisze program ktory sprawdzi kazda kombinacje katow , ale czekam na dalsze propozycje rozwiazan.

Mortify · Post autor: **Mortify** » 13 mar 2010, o 20:18

Niech nasz trójkąt ma boki: \(\displaystyle{ a,a,b}\). Wysokość na \(\displaystyle{ a}\) niech będzie \(\displaystyle{ h_a}\), wysokość na \(\displaystyle{ b}\) niech będzie \(\displaystyle{ h_b}\).
Mamy zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a*h_a= \frac{1}{2}b*h_b}\)
\(\displaystyle{ ah_a=bh_b}\)
1) \(\displaystyle{ h_b=2h_a}\)
\(\displaystyle{ ah_a=2bh_a}\)
\(\displaystyle{ a=2b}\) - tak może być. (nierówności trójkąta zachodzą)

2) \(\displaystyle{ h_a=2h_b}\)
\(\displaystyle{ 2ah_b=bh_b}\)
\(\displaystyle{ 2a=b}\) - nie może tak być, bo: \(\displaystyle{ a+a>b=2a}\) - sprzeczność.
Zatem drugi przypadek nie może zachodzić.

A niby Biała taka nieduża:D a tu proszę